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私立 千歳科学技術大学 2013年 第3問各辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき以下の問いに答えなさい．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{GC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GC}}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{GC}$の長さを求めなさい．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{GC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GC}}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{GC}$の長さを求めなさい．
私立 千歳科学技術大学 2013年 第3問各辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき以下の問いに答えなさい．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{GC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GC}}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{GC}$の長さを求めなさい．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{GC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GC}}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{GC}$の長さを求めなさい．
公立 滋賀県立大学 2013年 第3問四面体の$4$つの頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$とし，空間のある点$\mathrm{P}$に関するそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$，$\overrightarrow{a_4}$とする．いま$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$を順に$\mathrm{T}_1$，$\mathrm{T}_2$，$\mathrm{T}_3$，$\mathrm{T}_4$で表しその重心をそれぞれ$\mathrm{G}_1$，$\mathrm{G}_2$，$\mathrm{G}_3$，$\mathrm{G}_4$とする．
(1)点$\mathrm{H}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}=\frac{\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+\overrightarrow{a_4}}{4}$を満たす点とすると，$4$つの直線$\mathrm{A}_i \mathrm{G}_i (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$は$\mathrm{H}$で交わることを示せ．
(2)「直線$\mathrm{A}_i \mathrm{H}$は$\mathrm{T}_i$を含む平面に直交する（$i=1,\ 2,\ 3,\ 4$）」という条件が成り立つと仮定する．このとき$\mathrm{P}$として$\mathrm{H}$を選べば，$\overrightarrow{a_j}$と$\overrightarrow{a_k}$の内積$\overrightarrow{a_j} \cdot \overrightarrow{a_k} (j,\ k=1,\ 2,\ 3,\ 4)$の値は$j \neq k$を満たすどの$j,\ k$に対しても同じであることを示せ．
(3)(2)の条件が成り立てば，四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$は正四面体であることを示せ．
(1)点$\mathrm{H}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}=\frac{\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+\overrightarrow{a_4}}{4}$を満たす点とすると，$4$つの直線$\mathrm{A}_i \mathrm{G}_i (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$は$\mathrm{H}$で交わることを示せ．
(2)「直線$\mathrm{A}_i \mathrm{H}$は$\mathrm{T}_i$を含む平面に直交する（$i=1,\ 2,\ 3,\ 4$）」という条件が成り立つと仮定する．このとき$\mathrm{P}$として$\mathrm{H}$を選べば，$\overrightarrow{a_j}$と$\overrightarrow{a_k}$の内積$\overrightarrow{a_j} \cdot \overrightarrow{a_k} (j,\ k=1,\ 2,\ 3,\ 4)$の値は$j \neq k$を満たすどの$j,\ k$に対しても同じであることを示せ．
(3)(2)の条件が成り立てば，四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$は正四面体であることを示せ．
公立 大阪市立大学 2013年 第4問$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=5$である三角形$\mathrm{OAB}$に対し，$k=\mathrm{AB}$，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$k$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$k$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)(3)の$\mathrm{I}$と直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{H}$に対して，$\mathrm{IH} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{IH}}$を$k$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$k$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$k$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)(3)の$\mathrm{I}$と直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{H}$に対して，$\mathrm{IH} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{IH}}$を$k$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
公立 公立はこだて未来大学 2013年 第4問$s$を実数とするとき，座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(s,\ |1-s|)$に対して，以下の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を$t$とおく．$t$を$s$の関数で表せ．また，その$s$の関数を$f(s)$とおくとき，$t=f(s)$のグラフを描け．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta \leqq 0$となる$s$の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さの最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を$t$とおく．$t$を$s$の関数で表せ．また，その$s$の関数を$f(s)$とおくとき，$t=f(s)$のグラフを描け．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta \leqq 0$となる$s$の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さの最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．
公立 鳥取環境大学 2013年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$，$\angle \mathrm{A}=60^\circ$であるものとする．また，辺$\mathrm{AB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，辺$\mathrm{AD}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{EF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ．
(3)辺$\mathrm{BC}$（ただし，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む）上の点$\mathrm{G}$を考える．このとき，点$\mathrm{G}$を辺$\mathrm{BC}$上のどこにとっても内積$\overrightarrow{\mathrm{EF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EG}}$の値が変わらないことを示せ．また，その値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{EF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ．
(3)辺$\mathrm{BC}$（ただし，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む）上の点$\mathrm{G}$を考える．このとき，点$\mathrm{G}$を辺$\mathrm{BC}$上のどこにとっても内積$\overrightarrow{\mathrm{EF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EG}}$の値が変わらないことを示せ．また，その値を求めよ．
国立 東北大学 2012年 第4問平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| =1,\quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-\frac{1}{2} \]
を満たすとする．ただし，記号$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$はベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を表す．以下の問いに答えよ．
(1)実数$p,\ q$に対して，$\overrightarrow{c} = p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の条件
\[ |\overrightarrow{c}|=1,\quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0,\quad p>0 \]
を満たす実数$p,\ q$を求めよ．
(2)平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$が
\[ -1 \leqq \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{x} \leqq 1 , \quad 1 \leqq \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x} \leqq 2 \]
を満たすとき，$|\overrightarrow{x}|$のとりうる値の範囲を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| =1,\quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-\frac{1}{2} \]
を満たすとする．ただし，記号$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$はベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を表す．以下の問いに答えよ．
(1)実数$p,\ q$に対して，$\overrightarrow{c} = p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の条件
\[ |\overrightarrow{c}|=1,\quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0,\quad p>0 \]
を満たす実数$p,\ q$を求めよ．
(2)平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$が
\[ -1 \leqq \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{x} \leqq 1 , \quad 1 \leqq \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x} \leqq 2 \]
を満たすとき，$|\overrightarrow{x}|$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 東京工業大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$との内積を求めよ．
(2)$1$から$6$までの目がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で出るさいころを同時に$3$個投げるとき，目の積が$10$の倍数になる確率を求めよ．
(1)辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$との内積を求めよ．
(2)$1$から$6$までの目がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で出るさいころを同時に$3$個投げるとき，目の積が$10$の倍数になる確率を求めよ．
国立 滋賀大学 2012年 第4問$\triangle$ABCにおいて，$\text{AB}=3,\ \text{AC}=5,\ \text{BC}=2\sqrt{6}$とする．$\triangle$ABCの外心をOとし，Oから辺ABに下ろした垂線とABの交点をM，Oから辺ACに下ろした垂線とACの交点をN，直線AOと辺BCの交点をDとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AO}}|$の値を求めよ．
(3)$\text{BD}:\text{DC}=s:1-s,\ \overrightarrow{\mathrm{AO}}=k\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NO}}$をそれぞれ$k,\ s,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AO}}|$の値を求めよ．
(3)$\text{BD}:\text{DC}=s:1-s,\ \overrightarrow{\mathrm{AO}}=k\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NO}}$をそれぞれ$k,\ s,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
国立 新潟大学 2012年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB},\ \mathrm{OA} = 3,\ \mathrm{OB} = 4,\ \mathrm{OC} = 5$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{CG}$は$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面に垂直とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．