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私立 愛知工業大学 2013年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=[ ]$，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \right)^2=[ ]$である．
(2)$10$本のくじの中に$2$本の当たりくじがある．このくじを$\mathrm{A}$君が$2$本引き，次に$\mathrm{B}$さんが$2$本引く．ただし，引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，$\mathrm{A}$君が$1$本も当たらない確率は$[ ]$である．また，$\mathrm{B}$さんが少なくとも$1$本当たる確率は$[ ]$である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\mathrm{OQ}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ ]$である．
(4)複素数$z=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）に対して，$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$とする．このとき，$|z|=1$と$|z-i|=1$を同時にみたす複素数$z$は$z=[ ]$である．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=2 \sqrt{6}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ ]$であり，$\theta=[ ]$である．
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 3x \, dx=[ ]$
(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=[ ]$，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \right)^2=[ ]$である．
(2)$10$本のくじの中に$2$本の当たりくじがある．このくじを$\mathrm{A}$君が$2$本引き，次に$\mathrm{B}$さんが$2$本引く．ただし，引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，$\mathrm{A}$君が$1$本も当たらない確率は$[ ]$である．また，$\mathrm{B}$さんが少なくとも$1$本当たる確率は$[ ]$である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\mathrm{OQ}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ ]$である．
(4)複素数$z=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）に対して，$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$とする．このとき，$|z|=1$と$|z-i|=1$を同時にみたす複素数$z$は$z=[ ]$である．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=2 \sqrt{6}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ ]$であり，$\theta=[ ]$である．
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 3x \, dx=[ ]$
私立 東京電機大学 2013年 第2問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$から$\mathrm{OC}$に下ろした垂線と$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{OG}$と$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．
私立 東京電機大学 2013年 第5問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$から$\mathrm{OC}$に下ろした垂線と$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{OG}$と$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．
私立 北里大学 2013年 第3問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，辺$\mathrm{AO}$の点$\mathrm{O}$を越える延長上に$3 \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}$となるように点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{HF}$と平面$\mathrm{DEG}$の交点を$\mathrm{L}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$の内積は$[コ]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{HF}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}$と表される．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{LF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{LF}}=[ス] \overrightarrow{a}+[セ] \overrightarrow{b}$と表される．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$の内積は$[コ]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{HF}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}$と表される．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{LF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{LF}}=[ス] \overrightarrow{a}+[セ] \overrightarrow{b}$と表される．
私立 北里大学 2013年 第1問次の各文の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において，$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し，線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ア] \overrightarrow{b}+[イ] \overrightarrow{d}$と表せる．さらに，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$[ウ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[エ]$である．
(2)$6$人の生徒$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に入れる．各部屋は$6$人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$[オ]$通りある．また，各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$[カ]$通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で$[キ]$通りある．
(3)$x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める．このとき，$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$[ク]$である．また，$f(1)$の値は$f(1)=[ケ]$であり，$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=[コ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{AD}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{BAD}=[サ]$であり，$\mathrm{BD}=[シ]$，$\mathrm{CD}=[ス]$，$\mathrm{BC}=[セ]$である．
(1)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において，$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し，線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ア] \overrightarrow{b}+[イ] \overrightarrow{d}$と表せる．さらに，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$[ウ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[エ]$である．
(2)$6$人の生徒$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に入れる．各部屋は$6$人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$[オ]$通りある．また，各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$[カ]$通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で$[キ]$通りある．
(3)$x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める．このとき，$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$[ク]$である．また，$f(1)$の値は$f(1)=[ケ]$であり，$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=[コ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{AD}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{BAD}=[サ]$であり，$\mathrm{BD}=[シ]$，$\mathrm{CD}=[ス]$，$\mathrm{BC}=[セ]$である．
私立 東京薬科大学 2013年 第4問$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$である長方形の紙$\mathrm{ABCD}$が平らな机上に置かれている．$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点とすると，$\angle \mathrm{MCB}={[あい]}^\circ$である．いま，ある直線$\ell$に沿ってこの紙を折り曲げて，頂点$\mathrm{C}$が$\mathrm{M}$に重なるようにする．$\ell$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{CE}$の長さは$\displaystyle \frac{[う] \sqrt{[え]}}{[お]}$である．次に，折り畳まれた紙を開き，折り曲げられた部分が机上に垂直になったところで止める（頂点$\mathrm{C}$は空中にある）．このとき，$\mathrm{AC}=[か]$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[き]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[く]$となる．
私立 同志社大学 2013年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(2,\ 1)$と点$\mathrm{B}(1,\ -2)$をとる．実数$\theta (0 \leqq \theta<2\pi)$に対して点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\cos \theta) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-\sin \theta) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たすものとする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす値をとって変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす値をとって変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
私立 近畿大学 2013年 第2問空間内の同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$を満たしているとする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．
私立 近畿大学 2013年 第2問空間内の同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$を満たしているとする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．
私立 東京医科大学 2013年 第3問座標平面上の楕円$\displaystyle C:\frac{(x-a)^2}{b}+\frac{(y-c)^2}{2}=1$（$a,\ b,\ c$は正の定数）は$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$を通るとする．
(1)定数$a,\ b,\ c$は$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$が楕円$C$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$の最大値を$M$とすれば$\displaystyle M=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．
(1)定数$a,\ b,\ c$は$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$が楕円$C$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$の最大値を$M$とすれば$\displaystyle M=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．