「内積」について
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国立 愛媛大学 2013年 第2問行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
国立 岐阜大学 2013年 第7問$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$は空間のベクトルであり，次の条件を満たしている．
\[ \begin{array}{l}
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ここで$2$つのベクトルのなす角$\theta$は$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$である．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が等しいことを示せ．
(2)内積$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$が$0$であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角が等しいとする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は，$\cos \theta \leqq 0$を満たすことを示せ．
\[ \begin{array}{l}
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ここで$2$つのベクトルのなす角$\theta$は$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$である．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が等しいことを示せ．
(2)内積$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$が$0$であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角が等しいとする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は，$\cos \theta \leqq 0$を満たすことを示せ．
国立 愛媛大学 2013年 第4問行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第5問座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -2 \sqrt{3})$，$\mathrm{C}(x,\ y)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角が$60^\circ$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の大きさが$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$，$y>0$とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$と，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$と，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
私立 昭和大学 2013年 第3問台形$\mathrm{ABCD}$があり，上底は$\mathrm{AD}=3$，下底は$\mathrm{BC}=6$であり，また$\mathrm{AB}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{2\pi}{3}$である．いま，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおく．以下の各問に答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(4)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|$を求めよ．
(5)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(4)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|$を求めよ．
(5)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$を求めよ．
私立 西南学院大学 2013年 第4問三角形$\mathrm{ABC}$について$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=3 \sqrt{2}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．このとき，以下の内積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ニヌ]$
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[ネノハ]$
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}$
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ニヌ]$
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[ネノハ]$
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}$
私立 学習院大学 2013年 第3問$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$はともに平面上の長さ$1$のベクトルで，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$を満たすとする．ただし，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$は内積を表す．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$の長さ$|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|$を求めよ．
(2)内積
\[ \left( \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a} \right) \cdot \left( \overrightarrow{c}+2 \overrightarrow{b} \right) \]
を最大にする長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．また，その最大値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$の長さ$|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|$を求めよ．
(2)内積
\[ \left( \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a} \right) \cdot \left( \overrightarrow{c}+2 \overrightarrow{b} \right) \]
を最大にする長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．また，その最大値を求めよ．
私立 日本女子大学 2013年 第2問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．線分$\mathrm{BC}$を$s:(1-s)$に内分する点$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AP}$を$t:(1-t)$に内分する点$\mathrm{Q}$をとる．ただし$0<s<1$，$0<t<1$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$s$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$，$t$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{2}{3}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{3}{4}$のとき，$s$，$t$の値を求めよ．ここで$\cdot$は内積を表す．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$s$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$，$t$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{2}{3}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{3}{4}$のとき，$s$，$t$の値を求めよ．ここで$\cdot$は内積を表す．
私立 東京都市大学 2013年 第3問$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$について，辺$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$x:1-x$に内分する点を$\mathrm{R}$とおく．ただし，$0<x<1$とする．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$x$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$x$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$x$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$x$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
私立 東北医科薬科大学 2013年 第2問$2$直線$x \cos \theta+y \sin \theta=6$，$x \sin \theta-y \cos \theta=8$の交点を$\mathrm{P}(\theta)$とおく．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{4} \right)$を$\mathrm{A}$とおくと$\mathrm{A}$の座標は$([ア] \sqrt{[イ]},\ [ウ] \sqrt{[エ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}(\theta)$の座標$(x,\ y)$を$\theta$で表すと$x=[オ] \cos \theta+[カ] \sin \theta$，$y=[キ] \sin \theta-[ク] \cos \theta$である．
(3)$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，点$\mathrm{P}(\theta)$の軌跡は中心$([ケ],\ [コ])$，半径$[サシ]$の円の一部（円弧）を動き，その円弧の長さは$[ス] \pi$である．
(4)点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3\pi}{4} \right)$を$\mathrm{B}$，点$\mathrm{P}(\theta)$を$\mathrm{P}$とおく．このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積は
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=[セソタ]([チ]-\sqrt{[ツ]} \sin \theta) \]
である．また，$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，この内積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標は$([テ],\ [ト])$である．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{4} \right)$を$\mathrm{A}$とおくと$\mathrm{A}$の座標は$([ア] \sqrt{[イ]},\ [ウ] \sqrt{[エ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}(\theta)$の座標$(x,\ y)$を$\theta$で表すと$x=[オ] \cos \theta+[カ] \sin \theta$，$y=[キ] \sin \theta-[ク] \cos \theta$である．
(3)$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，点$\mathrm{P}(\theta)$の軌跡は中心$([ケ],\ [コ])$，半径$[サシ]$の円の一部（円弧）を動き，その円弧の長さは$[ス] \pi$である．
(4)点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3\pi}{4} \right)$を$\mathrm{B}$，点$\mathrm{P}(\theta)$を$\mathrm{P}$とおく．このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積は
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=[セソタ]([チ]-\sqrt{[ツ]} \sin \theta) \]
である．また，$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，この内積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標は$([テ],\ [ト])$である．