「内積」について
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国立 岩手大学 2013年 第2問座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -3,\ 0)$を直径の両端とする球面$S$を考える．$S$上に点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$をとり，$S$外に点$\mathrm{Q}(3,\ 4,\ 5)$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)球面$S$の方程式を求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は，点$\mathrm{P}$が球面$S$上のどこにあっても必ず$0$になることを証明せよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$で表すとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさとベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が球面$S$上を動くとき，$3x+4y+5z$の最大値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)球面$S$の方程式を求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は，点$\mathrm{P}$が球面$S$上のどこにあっても必ず$0$になることを証明せよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$で表すとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさとベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が球面$S$上を動くとき，$3x+4y+5z$の最大値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 九州工業大学 2013年 第1問頂点が$\mathrm{O}$で，各辺の長さが$1$である正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{CO}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{OD}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．次に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{BR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$k,\ t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{R}$が$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{Q}$の定める平面上にあるとする．
(i) $k$を$t$を用いて表せ．
(ii) $t$の値が変化するとき，$k$の最大値を求めよ．また，$k$が最大値をとるときの四角形$\mathrm{PBQR}$の面積$S$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{BR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$k,\ t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{R}$が$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{Q}$の定める平面上にあるとする．
(i) $k$を$t$を用いて表せ．
(ii) $t$の値が変化するとき，$k$の最大値を求めよ．また，$k$が最大値をとるときの四角形$\mathrm{PBQR}$の面積$S$を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2013年 第4問平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$は互いに異なる点とする．三角形$\mathrm{OAB}$において
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \]
かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$60^\circ$とする．$\ell$は点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が法線ベクトルである直線，$m$は点$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が法線ベクトルである直線とする．また，$\ell$と$m$は点$\mathrm{P}$で交わるとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$であることを用いて，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす実数$s,\ t$の値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \]
かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$60^\circ$とする．$\ell$は点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が法線ベクトルである直線，$m$は点$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が法線ベクトルである直線とする．また，$\ell$と$m$は点$\mathrm{P}$で交わるとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$であることを用いて，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす実数$s,\ t$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2013年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，内部の点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)(3)と同じ条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)(3)と同じ条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ．
国立 奈良女子大学 2013年 第1問半径$1$の外接円をもつ三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の長さをそれぞれ求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の長さをそれぞれ求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．$\cos \theta$の値を求めよ．
国立 東京農工大学 2013年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とする．ただし，対数は自然対数とする．
(i) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(ii) 直線$y=x$と直線$\displaystyle x=\frac{3}{4}$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(2)$\displaystyle \alpha=\frac{2}{5}\pi$とする．
(i) $\cos 3\alpha=\cos 2\alpha$が成り立つことを用いて，$\cos \alpha$と$\cos 2\alpha$の値を求めよ．
(ii) $2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和を$N$とする．このとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3})$を原点$\mathrm{O}$のまわりに角$N \alpha$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$T$とする．$T$の期待値を求めよ．
(1)$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とする．ただし，対数は自然対数とする．
(i) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(ii) 直線$y=x$と直線$\displaystyle x=\frac{3}{4}$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(2)$\displaystyle \alpha=\frac{2}{5}\pi$とする．
(i) $\cos 3\alpha=\cos 2\alpha$が成り立つことを用いて，$\cos \alpha$と$\cos 2\alpha$の値を求めよ．
(ii) $2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和を$N$とする．このとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3})$を原点$\mathrm{O}$のまわりに角$N \alpha$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$T$とする．$T$の期待値を求めよ．
国立 群馬大学 2013年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{M}$は$\mathrm{AM}=\mathrm{BM}=1$を満たす．内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$t$とする．
(1)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}$となるとき，$t$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の周の長さ$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(1)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}$となるとき，$t$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の周の長さ$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
国立 福井大学 2013年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$の各辺の長さをそれぞれ$\mathrm{AB}=\sqrt{7}$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{OC}=\sqrt{7}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 福井大学 2013年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$の各辺の長さを$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=\sqrt{5}$，$\mathrm{OC}=\sqrt{7}$，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，さらにその大きさを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，さらにその大きさを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 福井大学 2013年 第2問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$かつ$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$をみたす四面体$\mathrm{OABC}$がある．その体積を$V$，$\mathrm{AB}=m$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と表すとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を$m$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とおくとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CG}}$の値を求めよ．
(3)$V$を$m$を用いて表せ．
(4)$V$が最大となる$m$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を$m$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とおくとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CG}}$の値を求めよ．
(3)$V$を$m$を用いて表せ．
(4)$V$が最大となる$m$の値を求めよ．