「内積」について
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公立 福島県立医科大学 2014年 第2問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}<\frac{\pi}{2}$の$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．平面$H$上に無い点$\mathrm{C}$から平面$H$，直線$\mathrm{OA}$，直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$p=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$q=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$r=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$として，以下の問いに答えよ．ただし，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積である．
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=0$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$p,\ q,\ r$で表せ．
(3)$\mathrm{EF}$の長さを$p,\ q,\ r$で表せ．
(4)$\displaystyle p=\frac{1}{5}$，$q=1$，$r=2$であるとき，$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=0$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$p,\ q,\ r$で表せ．
(3)$\mathrm{EF}$の長さを$p,\ q,\ r$で表せ．
(4)$\displaystyle p=\frac{1}{5}$，$q=1$，$r=2$であるとき，$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．
公立 広島市立大学 2014年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}$，$\mathrm{OB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}$を満たしているとし，$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\mathrm{OC}=c$とおく．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{OAC}$の重心をそれぞれ$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{OG} \perp \mathrm{BH}$であるとき，$a^2+c^2=3b^2$が成り立つことを示せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{OG} \perp \mathrm{BH}$であるとき，$a^2+c^2=3b^2$が成り立つことを示せ．
国立 九州大学 2013年 第2問一辺の長さが1の正方形$\mathrm{OABC}$を底面とし，点$\mathrm{P}$を頂点とする四角錐$\mathrm{POABC}$がある．ただし，点$\mathrm{P}$は内積に関する条件$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{4}$，および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}$をみたす．辺$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{N}$とする．さらに，点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$を通る直線$\mathrm{PQ}$は，平面$\mathrm{OMN}$に垂直であるとする．このとき，長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}$，および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
国立 新潟大学 2013年 第4問1次関数$f(x)=px+q$に対して，$x$の係数$p$と定数項$q$を成分にもつベクトル$(p,\ q)$を$\overrightarrow{f}$とする．つまり，$\overrightarrow{f}=(p,\ q)$とする．次の問いに答えよ．
(1)定積分
\[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (kx+l)(mx+n) \, dx \]
を求めよ．ただし，$k,\ l,\ m,\ n$は定数である．
(2)2つの1次関数$g(x)$と$h(x)$に対して，等式
\[ \frac{1}{2 \sqrt{3}} \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x)h(x) \, dx=\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h} \]
が成り立つことを示せ．ただし，$\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h}$はベクトル$\overrightarrow{g}$，$\overrightarrow{h}$の内積を表す．
(3)等式
\[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)^2 \, dx \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \{g(x)\}^2 \, dx=\left\{ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)g(x) \, dx \right\}^2 \]
を満たし，$g(0)=-2$であるような1次関数$g(x)$を求めよ．
(1)定積分
\[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (kx+l)(mx+n) \, dx \]
を求めよ．ただし，$k,\ l,\ m,\ n$は定数である．
(2)2つの1次関数$g(x)$と$h(x)$に対して，等式
\[ \frac{1}{2 \sqrt{3}} \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x)h(x) \, dx=\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h} \]
が成り立つことを示せ．ただし，$\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h}$はベクトル$\overrightarrow{g}$，$\overrightarrow{h}$の内積を表す．
(3)等式
\[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)^2 \, dx \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \{g(x)\}^2 \, dx=\left\{ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)g(x) \, dx \right\}^2 \]
を満たし，$g(0)=-2$であるような1次関数$g(x)$を求めよ．
国立 九州大学 2013年 第1問一辺の長さが1の正方形$\mathrm{OABC}$を底面とし，$\mathrm{OP}=\mathrm{AP}=\mathrm{BP}=\mathrm{CP}$をみたす点$\mathrm{P}$を頂点とする四角錐$\mathrm{POABC}$がある．辺$\mathrm{AP}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$t$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ．
(4)直線$\mathrm{PQ}$が平面$\mathrm{ODE}$に垂直であるとき，$t$の値および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$t$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ．
(4)直線$\mathrm{PQ}$が平面$\mathrm{ODE}$に垂直であるとき，$t$の値および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
国立 岩手大学 2013年 第4問平面上の一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{A}$とし，$\mathrm{O}$を端点とし$\mathrm{A}$の方向に伸びた半直線$\mathrm{OA}$上の点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$が$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}| |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積を求めよ．
国立 岩手大学 2013年 第4問平面上の一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{A}$とし，$\mathrm{O}$を端点とし$\mathrm{A}$の方向に伸びた半直線$\mathrm{OA}$上の点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$が$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}| |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積を求めよ．
国立 秋田大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$上に$t \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ (0<t<1)$となる点$\mathrm{C}$をとる．$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=1$のとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AC}=1$のとき，$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AC}=1$のとき，$t$の値を求めよ．
国立 佐賀大学 2013年 第1問一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$において，線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(4)線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{C}$とし，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(4)線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{C}$とし，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
国立 佐賀大学 2013年 第5問一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$において，線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(4)線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{C}$とし，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(4)線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{C}$とし，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．