「内積」について
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国立 宮城教育大学 2014年 第3問辺の長さが$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$である四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AC}$とする．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:8$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を通る平面上の点$\mathrm{G}$が，$\mathrm{EG} \perp \mathrm{DE}$，$\mathrm{FG} \perp \mathrm{DF}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=t$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OG}$が点$\mathrm{H}$で交わるとする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=t$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OG}$が点$\mathrm{H}$で交わるとする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．
国立 高知大学 2014年 第2問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{G}$とおき，正の実数$t$に対して$\mathrm{DE}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{H}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$が垂直に交わるとき，$t$を求めよ．
(5)$(4)$において，その交点を$\mathrm{O}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(6)$(5)$の点$\mathrm{O}$に対して，線分$\mathrm{AO}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$が垂直に交わるとき，$t$を求めよ．
(5)$(4)$において，その交点を$\mathrm{O}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(6)$(5)$の点$\mathrm{O}$に対して，線分$\mathrm{AO}$の長さを求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第2問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第2問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2014年 第4問平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$，かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=1$を満たすとする．ここで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表す．また，$s$を実数とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s^2) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定める．
(1)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，および$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{MQ}}$となる$s$の値をすべて求めよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，および$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{MQ}}$となる$s$の値をすべて求めよ．
国立 福井大学 2014年 第1問$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を$\displaystyle \frac{1}{2}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{AOP}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$k=\mathrm{OP}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$t$，$k$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AQ}=\mathrm{BP}$が成り立つとする．$k$を$t$を用いて表せ．また内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$t$，$k$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AQ}=\mathrm{BP}$が成り立つとする．$k$を$t$を用いて表せ．また内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．
国立 宮城教育大学 2014年 第3問辺の長さが$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$である四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AC}$とする．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:8$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を通る平面上の点$\mathrm{G}$が，$\mathrm{EG} \perp \mathrm{DE}$，$\mathrm{FG} \perp \mathrm{DF}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=t$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OG}$が点$\mathrm{H}$で交わるとする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=t$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OG}$が点$\mathrm{H}$で交わるとする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．
国立 福井大学 2014年 第1問三角形$\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を$\displaystyle \frac{1}{2}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{M}$，$\angle \mathrm{AOM}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{OM}=s$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AN}=\mathrm{BM}$のとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\cos \angle \mathrm{BOM}=x$とおく．$(2)$の仮定のもとで，さらに$x^2+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$が成り立っているとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(1)$\mathrm{OM}=s$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AN}=\mathrm{BM}$のとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\cos \angle \mathrm{BOM}=x$とおく．$(2)$の仮定のもとで，さらに$x^2+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$が成り立っているとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
国立 山口大学 2014年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{OA}=7$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{OC}=5$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{c}$を表しなさい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めなさい．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{c}$を表しなさい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めなさい．
国立 茨城大学 2014年 第3問$\mathrm{OA}=\sqrt{3}$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{AB}=\sqrt{5}$となる三角形$\mathrm{OAB}$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の内部の点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とすると，
\[ \mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1,\quad \mathrm{OQ}:\mathrm{QB}=1:2 \]
であった．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ．
\mon[注] 点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線の足とは，点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{YZ}$との交点のことである．
\[ \mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1,\quad \mathrm{OQ}:\mathrm{QB}=1:2 \]
であった．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ．
\mon[注] 点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線の足とは，点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{YZ}$との交点のことである．