「内積」について
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国立 名古屋工業大学 2016年 第3問座標空間内に
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(1,\ 2,\ 2),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ -1),\quad \mathrm{C}(2,\ -1,\ 1) \]
を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$がある．$t>0$に対して半直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OB}:\mathrm{OP}=1:t$となるようにとる．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{APC}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$が最小になる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{OB}$上にあり，点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$上にある．線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(1,\ 2,\ 2),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ -1),\quad \mathrm{C}(2,\ -1,\ 1) \]
を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$がある．$t>0$に対して半直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OB}:\mathrm{OP}=1:t$となるようにとる．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{APC}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$が最小になる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{OB}$上にあり，点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$上にある．線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．また，四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{AB}=7$とする．$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{AB}=7$とする．$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第1問一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が平面上にある．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は，この順に反時計回りに並んでいるものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ．また，その最小値を与える点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ．また，その最小値を与える点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
国立 三重大学 2016年 第1問平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$を考える．$m,\ n$は正の実数とする．
(1)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2$を${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．さらに
\[ \frac{mn}{m+n} {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+(m+n) {|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2=n {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+m {|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2 \]
を示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_1$，辺$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_2$，辺$\mathrm{CA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_3$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2$は
\[ \frac{mn}{{(m+n)}^2} \left( {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2 \right)+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
に等しいことを示せ．
(3)$(2)$の$m,\ n$を変化させたとき
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
の最大値を${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2$で表せ．
(1)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2$を${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．さらに
\[ \frac{mn}{m+n} {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+(m+n) {|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2=n {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+m {|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2 \]
を示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_1$，辺$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_2$，辺$\mathrm{CA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_3$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2$は
\[ \frac{mn}{{(m+n)}^2} \left( {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2 \right)+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
に等しいことを示せ．
(3)$(2)$の$m,\ n$を変化させたとき
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
の最大値を${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2$で表せ．
国立 東北大学 2016年 第1問平面上で原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$を考える．実数$s,\ t$に対し，点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
により定める．以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t$が条件
\[ -1 \leqq s \leqq 1,\quad -1 \leqq t \leqq 1,\quad -1 \leqq s+t \leqq 1 \]
を満たすとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の存在する範囲$D$を図示せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$(1)$で求めた範囲$D$を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値を求め，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
により定める．以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t$が条件
\[ -1 \leqq s \leqq 1,\quad -1 \leqq t \leqq 1,\quad -1 \leqq s+t \leqq 1 \]
を満たすとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の存在する範囲$D$を図示せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$(1)$で求めた範囲$D$を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値を求め，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 岐阜大学 2016年 第5問$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CE}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)辺$\mathrm{AB}$を$7:1$に外分する点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$を$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$となる直角二等辺三角形とするとき，$\angle \mathrm{CEG}$の大きさを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CE}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)辺$\mathrm{AB}$を$7:1$に外分する点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$を$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$となる直角二等辺三角形とするとき，$\angle \mathrm{CEG}$の大きさを求めよ．
国立 愛知教育大学 2016年 第7問点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{AO}$との交点を$\mathrm{M}$とする．$5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っているとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{BM}$の長さを求めよ．
(4)$\cos \angle \mathrm{BOM}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{BM}$の長さを求めよ．
(4)$\cos \angle \mathrm{BOM}$を求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第1問一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が平面上にある．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は，この順に反時計回りに並んでいるものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$とベクトルの大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ．また，その最小値を与える点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$とベクトルの大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ．また，その最小値を与える点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．