「内接」について
タグ「内接」の検索結果
(9ページ目:全207問中81問~90問を表示)![東洋大学](./img/univ/toyo.png)
$C_1$を半径$1$の円とする.$H_1$を円$C_1$に内接する正六角形とし,正六角形$H_1$に内接する円を$C_2$とする.次の各問に答えよ.
(1)円$C_2$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$である.
(2)円$C_2$に内接する正六角形を$H_2$とする.この操作を繰り返し,$10$個の円$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$を作る.このとき,$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$の円周の長さの総和は
\[ \frac{\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}+[キ][ク][ケ] \sqrt{[コ]}}{256} \pi \]
である.
(3)円$C_1$に内接する正十二角形に,円$C^\prime$が内接している.このとき,$C^\prime$の半径は$\displaystyle \frac{[サ]+\sqrt{[シ]}}{2 \sqrt{2}}$である.
(1)円$C_2$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$である.
(2)円$C_2$に内接する正六角形を$H_2$とする.この操作を繰り返し,$10$個の円$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$を作る.このとき,$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$の円周の長さの総和は
\[ \frac{\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}+[キ][ク][ケ] \sqrt{[コ]}}{256} \pi \]
である.
(3)円$C_1$に内接する正十二角形に,円$C^\prime$が内接している.このとき,$C^\prime$の半径は$\displaystyle \frac{[サ]+\sqrt{[シ]}}{2 \sqrt{2}}$である.
![北里大学](./img/univ/kitazato.png)
次の各文の$[ ]$にあてはまる答を求めよ.
(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき,$a$の値は$[ア]$,$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である.
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき,$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である.また,$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である.
(3)$k$を正の定数とし,$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$,$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$,$C_2$とする.$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき,$k$の値は$[オ]$である.$C_2$が$x$軸と接するとき,$k$の値は$[カ]$である.また,$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である.
(4)半径が$3$である球を$A$,底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする.このとき,球$A$の体積は$[ク]$である.また,球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき,円錐$B$の表面積は$[ケ]$である.
(図は省略)
(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき,$a$の値は$[ア]$,$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である.
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき,$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である.また,$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である.
(3)$k$を正の定数とし,$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$,$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$,$C_2$とする.$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき,$k$の値は$[オ]$である.$C_2$が$x$軸と接するとき,$k$の値は$[カ]$である.また,$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である.
(4)半径が$3$である球を$A$,底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする.このとき,球$A$の体積は$[ク]$である.また,球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき,円錐$B$の表面積は$[ケ]$である.
(図は省略)
![東京女子大学](./img/univ/tokyojoshi.png)
四角形$\mathrm{OABC}$において三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{O}$を中心とする円に内接している.$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$,$\mathrm{CA}=3$,$\mathrm{BC}=2$のとき以下の設問に答えよ.
(1)$\cos \angle \mathrm{ABC}$を求めよ.
(2)$\mathrm{OA}$を求めよ.
(3)四角形$\mathrm{OABC}$の面積を求めよ.
(1)$\cos \angle \mathrm{ABC}$を求めよ.
(2)$\mathrm{OA}$を求めよ.
(3)四角形$\mathrm{OABC}$の面積を求めよ.
![東京理科大学](./img/univ/tokyoridai.png)
$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間の$x$軸上,$y$軸上,$z$軸上にそれぞれ点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$があり,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{AC}=2$であるという.そのとき,$\mathrm{BC}=a$とおき,三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく.
(1)$a$の取りうる値の範囲は
\[ \sqrt{[ア]} \leqq a \leqq \sqrt{[イ][ウ]} \]
である.
(2)$(ⅰ)$ $\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{[エ][オ]}(-a^2+[カ][キ])$である.
$(ⅱ)$ $\displaystyle S^2=\frac{1}{[ク][ケ]}(-a^4+[コ][サ]a^2-[シ][ス])$である.
(3)$\mathrm{OA}=x$とおいて,$S^2$を$x$を用いて表すと
\[ S^2=-\frac{[セ]}{[ソ]}x^4+[タ] \]
となる.
(4)$S=2 \sqrt{2}$のとき,四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球(すなわち,中心がこの四面体の内部にあって,すべての面と$1$点のみを共有する球)の半径を$r$とおく.
(i) $\displaystyle r=\frac{\sqrt{[チ]}}{1+[ツ] \sqrt{[テ]}+\sqrt{[ト][ナ]}}$である.
(ii) $r=[ニ] \sqrt{[チ]}-[ヌ] \sqrt{[テ]}+[ネ] \sqrt{[ト][ナ]}-[ノ]$となる.
(1)$a$の取りうる値の範囲は
\[ \sqrt{[ア]} \leqq a \leqq \sqrt{[イ][ウ]} \]
である.
(2)$(ⅰ)$ $\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{[エ][オ]}(-a^2+[カ][キ])$である.
$(ⅱ)$ $\displaystyle S^2=\frac{1}{[ク][ケ]}(-a^4+[コ][サ]a^2-[シ][ス])$である.
(3)$\mathrm{OA}=x$とおいて,$S^2$を$x$を用いて表すと
\[ S^2=-\frac{[セ]}{[ソ]}x^4+[タ] \]
となる.
(4)$S=2 \sqrt{2}$のとき,四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球(すなわち,中心がこの四面体の内部にあって,すべての面と$1$点のみを共有する球)の半径を$r$とおく.
(i) $\displaystyle r=\frac{\sqrt{[チ]}}{1+[ツ] \sqrt{[テ]}+\sqrt{[ト][ナ]}}$である.
(ii) $r=[ニ] \sqrt{[チ]}-[ヌ] \sqrt{[テ]}+[ネ] \sqrt{[ト][ナ]}-[ノ]$となる.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
$C_1$を半径$1$の円とする.円$C_1$に内接する正方形を$S_1$とする.正方形$S_1$に内接する円を$C_2$とする.以下同様に,円$C_n$に内接する正方形を$S_n$とし,正方形$S_n$に内接する円を$C_{n+1}$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)円$C_2$の半径を$r_2$とする.$r_2$を求めよ.
(2)円$C_n$の半径を$r_n$とする.$r_n$を$n$の式で表せ.
(3)正方形$S_n$の面積を$A_n$とし,$T_n=A_1+A_2+A_3+\cdots +A_n$とする.$T_n$を$n$の式で表せ.
(4)$T_n$が円$C_1$の面積よりも大きくなるような自然数$n$のうち,最小のものを求めよ.
(1)円$C_2$の半径を$r_2$とする.$r_2$を求めよ.
(2)円$C_n$の半径を$r_n$とする.$r_n$を$n$の式で表せ.
(3)正方形$S_n$の面積を$A_n$とし,$T_n=A_1+A_2+A_3+\cdots +A_n$とする.$T_n$を$n$の式で表せ.
(4)$T_n$が円$C_1$の面積よりも大きくなるような自然数$n$のうち,最小のものを求めよ.
![西南学院大学](./img/univ/seinan.png)
円$\mathrm{O}$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の$3$つの頂点の座標が,$\mathrm{B}(1,\ 1)$,$\mathrm{C}(8,\ 2)$,$\mathrm{D}(8,\ 8)$で与えられている.$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の延長が$\mathrm{CD}$の右側で交わるように点$\mathrm{A}$をとる.$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{E}$とし,$\tan \angle \mathrm{CDE}=2$のとき,以下の問に答えよ.
(1)円$\mathrm{O}$の中心の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ.
(3)$\mathrm{AB}$を通る直線の式を求めよ.
(1)円$\mathrm{O}$の中心の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ.
(3)$\mathrm{AB}$を通る直線の式を求めよ.
![西南学院大学](./img/univ/seinan.png)
半径$R$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$から底辺$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{H}$とする.$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$,$\mathrm{BH}=3$,$\mathrm{CH}=2$のとき,以下の値を求めよ.
(1)$\displaystyle \tan \angle \mathrm{BAH}=\frac{[ネ]}{[ノ]}$
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAH}=\frac{[ハ] \sqrt{[ヒフ]}}{[ヘホ]}$
(3)$\displaystyle R=\frac{[マ] \sqrt{[ミ]}}{[ム]}$
(1)$\displaystyle \tan \angle \mathrm{BAH}=\frac{[ネ]}{[ノ]}$
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAH}=\frac{[ハ] \sqrt{[ヒフ]}}{[ヘホ]}$
(3)$\displaystyle R=\frac{[マ] \sqrt{[ミ]}}{[ム]}$
![西南学院大学](./img/univ/seinan.png)
三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円$\mathrm{O}$がある.円$\mathrm{O}$と$\mathrm{BC}$との接点を$\mathrm{H}$,円$\mathrm{O}$と$\mathrm{AC}$との接点を$\mathrm{I}$とする.$\mathrm{AB}=8$,$\mathrm{BC}=9$,$\mathrm{AC}=5$のとき,以下の問に答えよ.
(1)円$\mathrm{O}$の半径は,$\displaystyle \frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[フヘ]}$である.
(2)円$\mathrm{O}$の中心と$\mathrm{B}$との距離は,$\displaystyle \frac{[ホマ] \sqrt{[ミム]}}{[フヘ]}$である.
(3)$\mathrm{AI}=[メ]$である.
(1)円$\mathrm{O}$の半径は,$\displaystyle \frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[フヘ]}$である.
(2)円$\mathrm{O}$の中心と$\mathrm{B}$との距離は,$\displaystyle \frac{[ホマ] \sqrt{[ミム]}}{[フヘ]}$である.
(3)$\mathrm{AI}=[メ]$である.
![ノートルダム清心女子大学](./img/univ/seishin.png)
次の設問に答えなさい.
(1)三角形$\mathrm{ABC}$について$\sin B$を$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい.
\begin{zahyou*}[ul=1.8mm](-20,20)(-5,20)%
\tenretu*{A(10,14);B(-15,0);C(15,0)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\Kakukigou\B\A\C{}%
\Kakukigou\C\B\A<Hankei=6mm>{}%
\Kakukigou\A\C\B{}%
\emathPut{(9,15.5)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-18,-1)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(17,-1)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(7.5,9)}{$A$}
\emathPut{(-9.5,0.7)}{$B$}
\emathPut{(9.5,0.7)}{$C$}
\emathPut{(0,-3)}{$a$}
\emathPut{(14.5,8)}{$b$}
\emathPut{(-5.5,8)}{$c$}
\end{zahyou*}
(2)下図のように半径$R$の円に外接する正三角形を$\triangle \mathrm{ABC}$とし,内接する正三角形を$\triangle \mathrm{DEF}$とします.このとき$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$で囲まれた図形(図中の斜線部分)の面積を求めなさい.
\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](-20,20)(-10,25)%
\tenretu*{O(0,0);A(0,20);B(-17.32,-10);C(17.32,-10);D(0,10);E(-8.66,-5);F(8.66,-5)}%
{\thicklines
\emPaint*{\A\B\C}
\Nuritubusi[0]{\D\E\F\D}%
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\D\E\F\D}%
}
\emathPut{(-0.8,21)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-20.8,-11)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(19,-11)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(-0.8,5.5)}{$\mathrm{D}$}
\emathPut{(-6.2,-4)}{$\mathrm{E}$}
\emathPut{(4.5,-4)}{$\mathrm{F}$}
\end{zahyou*}
(1)三角形$\mathrm{ABC}$について$\sin B$を$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい.
\begin{zahyou*}[ul=1.8mm](-20,20)(-5,20)%
\tenretu*{A(10,14);B(-15,0);C(15,0)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\Kakukigou\B\A\C{}%
\Kakukigou\C\B\A<Hankei=6mm>{}%
\Kakukigou\A\C\B{}%
\emathPut{(9,15.5)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-18,-1)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(17,-1)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(7.5,9)}{$A$}
\emathPut{(-9.5,0.7)}{$B$}
\emathPut{(9.5,0.7)}{$C$}
\emathPut{(0,-3)}{$a$}
\emathPut{(14.5,8)}{$b$}
\emathPut{(-5.5,8)}{$c$}
\end{zahyou*}
(2)下図のように半径$R$の円に外接する正三角形を$\triangle \mathrm{ABC}$とし,内接する正三角形を$\triangle \mathrm{DEF}$とします.このとき$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$で囲まれた図形(図中の斜線部分)の面積を求めなさい.
\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](-20,20)(-10,25)%
\tenretu*{O(0,0);A(0,20);B(-17.32,-10);C(17.32,-10);D(0,10);E(-8.66,-5);F(8.66,-5)}%
{\thicklines
\emPaint*{\A\B\C}
\Nuritubusi[0]{\D\E\F\D}%
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\D\E\F\D}%
}
\emathPut{(-0.8,21)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-20.8,-11)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(19,-11)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(-0.8,5.5)}{$\mathrm{D}$}
\emathPut{(-6.2,-4)}{$\mathrm{E}$}
\emathPut{(4.5,-4)}{$\mathrm{F}$}
\end{zahyou*}
![大阪市立大学](./img/univ/osakashiritsu.png)
図のような三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$が中心$\mathrm{O}$,半径$1$の球に内接している.すなわち,三角柱の頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$はすべて,中心$\mathrm{O}$,半径$1$の球面上にある.また,三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$は合同な正三角形で,四角形$\mathrm{ADEB}$,四角形$\mathrm{BEFC}$,四角形$\mathrm{CFDA}$は合同な長方形であるとする.$\angle \mathrm{AOD}=2 \alpha$,$\angle \mathrm{AOB}=2 \beta$とおく.ただし,$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$,$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{3}$とする.次の問いに答えよ.
(図は省略)
(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ.
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ.
(3)$V$の最大値を求めよ.
(図は省略)
(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ.
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ.
(3)$V$の最大値を求めよ.