半径$r$の球に内接する直円錐の体積は，その円錐の底面の半径が$[　]$のときに最大値をとり，その値は球の体積の$[　]$倍に等しい．

下の図のように円$\mathrm{O}$に内接する$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$である二等辺三角形がある．直線$\mathrm{BO}$と，$\mathrm{C}$を接点とする直線および$\mathrm{AC}$との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\angle \mathrm{ACB}=30^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BDC}$を求めなさい．
（図は省略）

図のように，$4$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=10$の四角形$\mathrm{ABCD}$が円$\mathrm{O}$に内接するものとする．

(1)$\angle \mathrm{ABC}$を$\theta_1$，$\angle \mathrm{CDA}$を$\theta_2$とするとき，$\cos \theta_1$と$\cos \theta_2$の値および対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)この円の半径$R$を求めよ．
(3)この四角形の面積$S$を求めよ．
（図は省略）

下図のように，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$に内接する円を$\mathrm{O}$，その接点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　] \sqrt{[　]}$，円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積は$\displaystyle \frac{[　] \sqrt{[　]}}{[　]}$である．
（図は省略）

半径$1$の球に内接する直方体を考える．これらの体積の最大値$M$を求めたい．

(1)直方体の$1$つの辺の長さを$x$と固定したときの直方体の体積の最大値$V(x)$を求めよ．
(2)$M$を求めよ．

$n$を$3$以上の自然数とするとき，半径$a>0$の円に内接する正$n$角形の面積を求めなさい．また，この正$n$角形の$n$個の辺の長さの総和を求めなさい．

一辺の長さが$2a$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする高さ$h$の正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．ここで，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{OD}$の長さはすべて等しい．正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$に内接する球を$Q_1$とし，また正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$の$4$つの側面と$Q_1$に接する球を$Q_2$とする．以下同様にして球$Q_3,\ Q_4,\ \cdots,\ Q_n$をつくる．次の問いに答えよ．

(1)球$Q_1$の半径$r_1$を求めよ．
(2)球$Q_{k+1}$の半径$r_{k+1}$を球$Q_k$の半径$r_k$で示せ．
(3)球$Q_n$の体積を$a,\ h,\ n$で示せ．
(4)$h=2\sqrt{2}a$のとき，球$Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ \cdots,\ Q_n$の体積の和を$a,\ n$で示せ．