「内接」について
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国立 静岡大学 2010年 第2問$\triangle$ABCの辺BC上に点D，辺AC上に点Eがあり，四角形ABDEが円Oに内接している．$\displaystyle \text{AE} = \text{DE},\ \text{AB} = \frac{42}{5},\ \text{AC} = 14,\ \text{BD} = \frac{6}{5}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)線分AEと線分CDの長さを求めよ．
(2)円Oの半径を求めよ．
(1)線分AEと線分CDの長さを求めよ．
(2)円Oの半径を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第1問点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
国立 香川大学 2010年 第1問点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
国立 香川大学 2010年 第1問点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
国立 岡山大学 2010年 第4問平面上に半径1の円$C$がある．この円に外接し，さらに隣り合う2つが互いに外接するように，同じ大きさの$n$個の円を図（例1）のように配置し，その一つの円の半径を$R_n$とする．また，円$C$に内接し，さらに隣り合う2つが互いに外接するように，同じ大きさの$n$個の円を図（例2）のように配置し，その一つの円の半径を$r_n$とする．ただし，$n \geqq 3$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$R_6,\ r_6$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2(R_n-r_n)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1$を用いてよい．
\setlength\unitlength{1truecm}
\scalebox{1.5}{
（図は省略）
}
(1)$R_6,\ r_6$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2(R_n-r_n)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1$を用いてよい．
\setlength\unitlength{1truecm}
\scalebox{1.5}{
（図は省略）
}
国立 東京農工大学 2010年 第1問Oを原点とする座標空間にある，中心C$(1,\ 1,\ \sqrt{10})$，半径$3\sqrt{3}$の球面を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)$S$と$x$軸の正の部分との交点をPとし，$S$と$y$軸の正の部分との交点をQとする．P，Qの座標を求めよ．
(2)2点O，Cを通る直線と$S$との交点のうち，$z$座標が正であるものをRとする．Rの座標を求めよ．
(3)四面体OPQRの体積$V$を求めよ．
(4)4点O，P，Q，Rを通る球面の半径$r_1$を求めよ．
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径を$r_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値を求めよ．
(1)$S$と$x$軸の正の部分との交点をPとし，$S$と$y$軸の正の部分との交点をQとする．P，Qの座標を求めよ．
(2)2点O，Cを通る直線と$S$との交点のうち，$z$座標が正であるものをRとする．Rの座標を求めよ．
(3)四面体OPQRの体積$V$を求めよ．
(4)4点O，P，Q，Rを通る球面の半径$r_1$を求めよ．
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径を$r_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2010年 第2問4辺の長さが$\mathrm{AB}=a,\ \mathrm{BC}=b,\ \mathrm{CD}=c,\ \mathrm{DA}=d$である四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接している．$\mathrm{AC}=x,\ \mathrm{BD}=y$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{CDA}$に余弦定理を適用して，$x$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．また$y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(2)$xy$を$a,\ b,\ c,\ d$で表すと，$xy=ac+bd$となる．このことを(1)を用いて示せ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{CDA}$に余弦定理を適用して，$x$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．また$y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(2)$xy$を$a,\ b,\ c,\ d$で表すと，$xy=ac+bd$となる．このことを(1)を用いて示せ．
国立 山梨大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)放物線$y=-x^2+4x+8$と$x$軸とで囲まれた図形に内接し，$x$軸上に$2$つの頂点をもつ長方形の面積の最大値を求めよ．
(3)整数$5^{2010}$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(4)関数$y=\sin x-\cos x+\sqrt{2} \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)放物線$y=-x^2+4x+8$と$x$軸とで囲まれた図形に内接し，$x$軸上に$2$つの頂点をもつ長方形の面積の最大値を求めよ．
(3)整数$5^{2010}$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(4)関数$y=\sin x-\cos x+\sqrt{2} \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
私立 甲南大学 2010年 第2問$3$つの直線$y=x-1$，$y=-x+7$，$y=-2x+8$について，以下の問いに答えよ．
(1)この$3$つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ．
(2)(1)の三角形に内接する円の半径を求めよ．
(3)(2)の内接円の方程式を求めよ．
(1)この$3$つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ．
(2)(1)の三角形に内接する円の半径を求めよ．
(3)(2)の内接円の方程式を求めよ．
私立 甲南大学 2010年 第2問$3$つの直線$y=x-1$，$y=-x+7$，$y=-2x+8$について，以下の問いに答えよ．
(1)この$3$つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ．
(2)(1)の三角形に内接する円の半径を求めよ．
(3)(2)の内接円の方程式を求めよ．
(1)この$3$つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ．
(2)(1)の三角形に内接する円の半径を求めよ．
(3)(2)の内接円の方程式を求めよ．