「内接」について
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公立 北九州市立大学 2012年 第3問平面上で四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接し，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)$，$\mathrm{AD}=\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)$，$\angle \mathrm{ADB}={45}^\circ$であるとする．以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{BD}$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(4)$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき$\mathrm{BE}$を求めよ．
(1)$\mathrm{BD}$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(4)$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき$\mathrm{BE}$を求めよ．
国立 秋田大学 2011年 第3問点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$r$である円に内接する$\triangle \mathrm{ABC}$について，$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$をそれぞれ$2:1$に内分する点を$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$r$と内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて$|\overrightarrow{\mathrm{OA^\prime}}|^2$を表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$を通る円の中心が点$\mathrm{O}$と一致するとき，$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であることを示せ．
(1)$r$と内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて$|\overrightarrow{\mathrm{OA^\prime}}|^2$を表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$を通る円の中心が点$\mathrm{O}$と一致するとき，$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であることを示せ．
国立 神戸大学 2011年 第2問$xy$平面上に相異なる4点A，B，C，Dがあり，線分ACと BDは原点Oで交わっている．点Aの座標は$(1,\ 2)$で，線分OAとODの長さは等しく，四角形ABCDは円に内接している．$\angle \text{AOD} = \theta$とおき，点Cの$x$座標を$a$，四角形ABCDの面積を$S$とする．以下の問に答えよ．
(1)線分OCの長さを$a$を用いた式で表せ．また，線分OBとOCの長さは等しいことを示せ．
(2)$S$を$a$と$\theta$を用いた式で表せ．
(3)$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$とし，$20 \leqq S \leqq 40$とするとき，$a$のとりうる値の最大値を求めよ．
(1)線分OCの長さを$a$を用いた式で表せ．また，線分OBとOCの長さは等しいことを示せ．
(2)$S$を$a$と$\theta$を用いた式で表せ．
(3)$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$とし，$20 \leqq S \leqq 40$とするとき，$a$のとりうる値の最大値を求めよ．
国立 千葉大学 2011年 第3問四角錐$\mathrm{OABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$は$1$辺の長さ$2$の正方形で，
\[ \mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = \mathrm{OD} = \sqrt{5} \]
である．
(1)四角錐$\mathrm{OABCD}$の高さを求めよ．
(2)四角錐$\mathrm{OABCD}$に内接する球$S$の半径を求めよ．
(3)内接する球$S$の表面積と体積を求めよ．
\[ \mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = \mathrm{OD} = \sqrt{5} \]
である．
(1)四角錐$\mathrm{OABCD}$の高さを求めよ．
(2)四角錐$\mathrm{OABCD}$に内接する球$S$の半径を求めよ．
(3)内接する球$S$の表面積と体積を求めよ．
国立 奈良女子大学 2011年 第4問円に内接する四角形ABCDにおいて$\text{AB}=1,\ \text{BC}=2,\ \text{CD}=3,\ \text{DA}=4$であるとする．ACとBDの交点をEとする．以下の問いに答えよ．
(1)BDの長さを求めよ．
(2)$\text{BE}:\text{ED}$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}$を求めよ．
(1)BDの長さを求めよ．
(2)$\text{BE}:\text{ED}$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}$を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第1問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さを
\[ \mathrm{AB}=\sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=4,\quad \mathrm{CD}=3\sqrt{2},\quad \mathrm{DA}=2 \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)対角線$\mathrm{BD}$の長さ$l$と，内角$\angle \mathrm{DAB}$の大きさ$\alpha$を求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が内接する円の半径$R$を求めよ．
\[ \mathrm{AB}=\sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=4,\quad \mathrm{CD}=3\sqrt{2},\quad \mathrm{DA}=2 \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)対角線$\mathrm{BD}$の長さ$l$と，内角$\angle \mathrm{DAB}$の大きさ$\alpha$を求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が内接する円の半径$R$を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第2問半径$1$の球を$\mathrm{O}_1$とし，球$\mathrm{O}_1$に内接する立方体を$\mathrm{B}_1$とする．次に立方体$\mathrm{B}_1$に内接する球を$\mathrm{O}_2$とし，球$\mathrm{O}_2$に内接する立方体を$\mathrm{B}_2$とする．以下この操作を繰り返してできる球を$\mathrm{O}_n$，立方体を$\mathrm{B}_n \ (n=3,\ 4,\ \cdots)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)立方体$\mathrm{B}_1$の$1$辺の長さ$l_1$を求めよ．
(2)球$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．
(3)球$\mathrm{O}_n$の体積を$V_n$とし，$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ．
(1)立方体$\mathrm{B}_1$の$1$辺の長さ$l_1$を求めよ．
(2)球$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．
(3)球$\mathrm{O}_n$の体積を$V_n$とし，$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第2問半径1の球をO$_1$とし，球O$_1$に内接する立方体をB$_1$とする．次に立方体B$_1$に内接する球をO$_2$とし，球O$_2$に内接する立方体をB$_2$とする．以下この操作を繰り返してできる球をO$_n$，立方体をB$_n \ (n=3,\ 4,\ \cdots)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)立方体B$_1$の1辺の長さ$l_1$を求めよ．
(2)球O$_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．
(3)球O$_n$の体積を$V_n$とし，$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ．
(1)立方体B$_1$の1辺の長さ$l_1$を求めよ．
(2)球O$_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．
(3)球O$_n$の体積を$V_n$とし，$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ．
国立 熊本大学 2011年 第1問四角形$\mathrm{ABCD}$において，
\[ \mathrm{AB}=a,\ \mathrm{BC}=b,\ \mathrm{CD}=c,\ \mathrm{DA}=d,\ \mathrm{AC}=x,\ \mathrm{BD}=y \]
とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\cos \mathrm{A},\ \cos \mathrm{B},\ \cos \mathrm{C},\ \cos \mathrm{D}$を$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$を用いて表せ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，
\[ xy=ac+bd \]
が成り立つことを示せ．
\[ \mathrm{AB}=a,\ \mathrm{BC}=b,\ \mathrm{CD}=c,\ \mathrm{DA}=d,\ \mathrm{AC}=x,\ \mathrm{BD}=y \]
とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\cos \mathrm{A},\ \cos \mathrm{B},\ \cos \mathrm{C},\ \cos \mathrm{D}$を$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$を用いて表せ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，
\[ xy=ac+bd \]
が成り立つことを示せ．
国立 岐阜大学 2011年 第3問平面上に点Oを中心とする半径1の円$S$と$S$に内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \text{AP}^2+\text{BP}^2+\text{CP}^2 \geqq 3 \]
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ (\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2=\frac{3}{2} \]
となることを示せ．
(5)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ \text{AQ}^4+\text{BQ}^4+\text{CQ}^4 \]
の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \text{AP}^2+\text{BP}^2+\text{CP}^2 \geqq 3 \]
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ (\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2=\frac{3}{2} \]
となることを示せ．
(5)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ \text{AQ}^4+\text{BQ}^4+\text{CQ}^4 \]
の値を求めよ．