「内接」について
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国立 高知大学 2013年 第2問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CD}=3$，$\mathrm{DA}=4$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AC}$を求めよ．
(2)$\sin \angle \mathrm{ABC}$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
(4)$\sin \angle \mathrm{ACB}$を求めよ．
(5)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(1)$\mathrm{AC}$を求めよ．
(2)$\sin \angle \mathrm{ABC}$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
(4)$\sin \angle \mathrm{ACB}$を求めよ．
(5)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
国立 筑波大学 2013年 第3問$xyz$空間において，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$を通る平面上にあり，正三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円板を$D$とする．円板$D$の中心を$\mathrm{P}$，円板$D$と辺$\mathrm{AB}$の接点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)円板$D$が平面$z=t$と共有点をもつ$t$の範囲を求めよ．
(3)円板$D$と平面$z=t$の共通部分が線分であるとき，その線分の長さを$t$を用いて表せ．
(4)円板$D$を$z$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)円板$D$が平面$z=t$と共有点をもつ$t$の範囲を求めよ．
(3)円板$D$と平面$z=t$の共通部分が線分であるとき，その線分の長さを$t$を用いて表せ．
(4)円板$D$を$z$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）
国立 滋賀医科大学 2013年 第2問平面上で$2$つの円$S,\ S^\prime$が点$\mathrm{P}$で内接している．ただし$S^\prime$が$S$より小さいとする．円$S,\ S^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$とおく．円$S^\prime$上にあって直線$\mathrm{PO}^\prime$上にはない点$\mathrm{Q}$をとる．直線$\mathrm{PQ}$と円$S$との$\mathrm{P}$とは異なる交点を$\mathrm{A}$，直線$\mathrm{AO}$と円$S$との$\mathrm{A}$とは異なる交点を$\mathrm{B}$，直線$\mathrm{BO}^\prime$と円$S$との$\mathrm{B}$とは異なる交点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{CQ}$と円$S$との$\mathrm{C}$とは異なる交点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\mathrm{AO} \para \, \mathrm{QO}^\prime$を示せ．
(2)$\mathrm{DB}=\mathrm{BP}$を示せ．
(1)$\mathrm{AO} \para \, \mathrm{QO}^\prime$を示せ．
(2)$\mathrm{DB}=\mathrm{BP}$を示せ．
国立 滋賀大学 2013年 第1問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}=2 \mathrm{AB}$とする．また，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点$\mathrm{E}$が$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分するとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAD}={120}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAD}={120}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
国立 琉球大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)直径$1$の球を球の中心から距離$a$の平面で切って二つの部分に分け \\
たとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$ \\
とする．
(2)$1$辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える．この立方体に \\
内接する球と正四面体$\mathrm{ACFH}$との共通部分の体積を求めよ．
\img{748_3103_2013_1}{40}
(1)直径$1$の球を球の中心から距離$a$の平面で切って二つの部分に分け \\
たとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$ \\
とする．
(2)$1$辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える．この立方体に \\
内接する球と正四面体$\mathrm{ACFH}$との共通部分の体積を求めよ．
\img{748_3103_2013_1}{40}
国立 岐阜大学 2013年 第6問中心を点$\mathrm{O}$とする半径$1$の円に内接する正六角形$H_1$があり，その頂点を反時計回りに$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{C}_1$，$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{E}_1$，$\mathrm{F}_1$とする．辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$上に点$\mathrm{A}_2$を$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{OA}_2=15^\circ$を満たすようにとり，辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$上に点$\mathrm{B}_2$を$\angle \mathrm{B}_1 \mathrm{OB}_2=15^\circ$を満たすようにとる．同様に，図のように辺$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_1 \mathrm{E}_1$，$\mathrm{E}_1 \mathrm{F}_1$，$\mathrm{F}_1 \mathrm{A}_1$上にそれぞれ点$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{E}_2$，$\mathrm{F}_2$をとり，点$\mathrm{A}_2$から点$\mathrm{F}_2$を頂点とする正六角形を$H_2$とおく． \\
上の操作を再び正六角形$H_2$に対して行い，辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2$，$\mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$，$\mathrm{D}_2 \mathrm{E}_2$，$\mathrm{E}_2 \mathrm{F}_2$，$\mathrm{F}_2 \mathrm{A}_2$上にそれぞれ点$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_3$，$\mathrm{D}_3$，$\mathrm{E}_3$，$\mathrm{F}_3$をとり，これらを頂点とする正六角形を$H_3$とおく．同様に$3$以上の整数$n$に対して，上の操作を正六角形$H_n$に行うことにより得られる正六角形を$H_{n+1}$とおく．以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{OA}_2$の長さを求めよ．
(2)正六角形$H_2$の面積$S_2$を求めよ．
(3)正六角形$H_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表せ．
上の操作を再び正六角形$H_2$に対して行い，辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2$，$\mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$，$\mathrm{D}_2 \mathrm{E}_2$，$\mathrm{E}_2 \mathrm{F}_2$，$\mathrm{F}_2 \mathrm{A}_2$上にそれぞれ点$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_3$，$\mathrm{D}_3$，$\mathrm{E}_3$，$\mathrm{F}_3$をとり，これらを頂点とする正六角形を$H_3$とおく．同様に$3$以上の整数$n$に対して，上の操作を正六角形$H_n$に行うことにより得られる正六角形を$H_{n+1}$とおく．以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{OA}_2$の長さを求めよ．
(2)正六角形$H_2$の面積$S_2$を求めよ．
(3)正六角形$H_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2013年 第5問右図のような四角形$\mathrm{ABCD}$について，すべての内角の大きさは$180^\circ$ \\
未満とする．$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{P}$，$\triangle \mathrm{CDA}$の重心を$\mathrm{Q}$，$\triangle \mathrm{DAB}$の重 \\
心を$\mathrm{R}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{S}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$ \\
上になく，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{BD}$上にないものとする．このとき， \\
次の各問に答えよ．
\img{735_3039_2013_1}{37}
(1)$\mathrm{AC} \para \mathrm{RP}$を示せ．
(2)$\mathrm{AB} \para \mathrm{QP}$を示せ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は同一円周上にあることを示せ．
未満とする．$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{P}$，$\triangle \mathrm{CDA}$の重心を$\mathrm{Q}$，$\triangle \mathrm{DAB}$の重 \\
心を$\mathrm{R}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{S}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$ \\
上になく，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{BD}$上にないものとする．このとき， \\
次の各問に答えよ．
\img{735_3039_2013_1}{37}
(1)$\mathrm{AC} \para \mathrm{RP}$を示せ．
(2)$\mathrm{AB} \para \mathrm{QP}$を示せ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は同一円周上にあることを示せ．
私立 北海学園大学 2013年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=7k$，$\mathrm{BC}=6k$，$\mathrm{CA}=5k$であり，面積が$24 \sqrt{6}$である．ただし，$k$は正の定数とする．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$に内接する円の半径$r$を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$に内接する円の半径$r$を求めよ．
私立 東北学院大学 2013年 第1問円$\mathrm{O}$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2 \sqrt{7},\quad \mathrm{BE}=4,\quad \mathrm{DE}=3,\quad \angle \mathrm{DEC}=60^\circ \]
であるとき，次の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{EC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径$R$を求めよ．
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2 \sqrt{7},\quad \mathrm{BE}=4,\quad \mathrm{DE}=3,\quad \angle \mathrm{DEC}=60^\circ \]
であるとき，次の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{EC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径$R$を求めよ．
私立 南山大学 2013年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$がある．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$\mathrm{O}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
を満たすような実数$s,\ t$の値を求めよ．また，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球の半径$r$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$\mathrm{O}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
を満たすような実数$s,\ t$の値を求めよ．また，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球の半径$r$を求めよ．