「内接円」について
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私立 上智大学 2012年 第3問一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．底面$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とおき，頂点$\mathrm{O}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に垂直な直線からの距離が$r$以下である点全体からなる円柱を$T$とする．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}$である．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．
$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると
\[ x_1=\frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \]
である．
$\displaystyle x_1 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは
\[ \frac{[ホ]}{[マ]} \sqrt{\frac{[ミ]}{[ム]}-x^2} \]
である．
正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は
\[ \frac{\pi}{[メ]} \]
である．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}$である．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．
$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると
\[ x_1=\frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \]
である．
$\displaystyle x_1 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは
\[ \frac{[ホ]}{[マ]} \sqrt{\frac{[ミ]}{[ム]}-x^2} \]
である．
正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は
\[ \frac{\pi}{[メ]} \]
である．
私立 中部大学 2012年 第4問$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である$2$等辺三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径は$1$である．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$\theta$で表せ．
(2)$S$の最小値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$\theta$で表せ．
(2)$S$の最小値を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第4問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$で面積が$3+\sqrt{3}$のとき，以下の値を求めよ．
(1)$\sin A$
(2)$\cos A$
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径
(1)$\sin A$
(2)$\cos A$
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径
私立 青山学院大学 2012年 第1問$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{AC}=2$である$\triangle \mathrm{ABC}$について，次の問に答えよ．
(1)次の問に答えよ．
(i) $\theta=\angle \mathrm{ACB}$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$および$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{b} \]
である．
(1)次の問に答えよ．
(i) $\theta=\angle \mathrm{ACB}$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$および$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{b} \]
である．
私立 大同大学 2012年 第7問$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}=10$をみたす二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，内接円の半径を$\sqrt{5}$とする．
(1)線分$\mathrm{BI}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{BI}$，$\mathrm{IP}=2 \sqrt{5}$をみたすようにとる．$\cos \angle \mathrm{IBP}$の値を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(1)線分$\mathrm{BI}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{BI}$，$\mathrm{IP}=2 \sqrt{5}$をみたすようにとる．$\cos \angle \mathrm{IBP}$の値を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
私立 杏林大学 2012年 第2問$[タ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．
一辺の長さが$2$である正五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\displaystyle \overrightarrow{a}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$k=|\overrightarrow{\mathrm{DA}}|$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=k$より，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k \overrightarrow{a}+[ア] \overrightarrow{d} \]
が成り立つ．また，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[イ] \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{d} \]
と表せる．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=k$より，
\[ k=[ウ]+\sqrt{[エ]},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}=\frac{[オ]-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
となる．
また，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\left( [ク]+\sqrt{[ケ]} \right) \overrightarrow{a} \]
であり，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BC}$を$2:[コ]+\sqrt{[サ]}$に外分する．
(3)正五角形$\mathrm{OABCD}$の内接円の半径を$\alpha$とすると，
\[ \alpha^2=[シ]+\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]} \]
である．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$t \overrightarrow{\mathrm{OA}} (t \geqq 0)$を始線としたとき，極座標$(r,\ \theta)$を用いて直線$\mathrm{AD}$の極方程式は$r=[タ]$と表わされる．
$[タ]$の解答群
\setstretch{2.5}
\[ \begin{array}{lll}
① 2 \cos \theta+\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & ② 2 \cos \theta-\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & ③ 2 \cos \theta+2\alpha \sin \theta \\
④ 2 \cos \theta-2 \alpha \sin \theta & ⑤ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta+\sin \theta} & ⑥ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta-\sin \theta} \\
④chi \displaystyle\frac{2}{\cos \theta+\alpha \sin \theta} & \maruhachi \displaystyle\frac{2}{\cos \theta-\alpha \sin \theta} &
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
一辺の長さが$2$である正五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\displaystyle \overrightarrow{a}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$k=|\overrightarrow{\mathrm{DA}}|$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=k$より，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k \overrightarrow{a}+[ア] \overrightarrow{d} \]
が成り立つ．また，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[イ] \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{d} \]
と表せる．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=k$より，
\[ k=[ウ]+\sqrt{[エ]},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}=\frac{[オ]-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
となる．
また，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\left( [ク]+\sqrt{[ケ]} \right) \overrightarrow{a} \]
であり，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BC}$を$2:[コ]+\sqrt{[サ]}$に外分する．
(3)正五角形$\mathrm{OABCD}$の内接円の半径を$\alpha$とすると，
\[ \alpha^2=[シ]+\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]} \]
である．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$t \overrightarrow{\mathrm{OA}} (t \geqq 0)$を始線としたとき，極座標$(r,\ \theta)$を用いて直線$\mathrm{AD}$の極方程式は$r=[タ]$と表わされる．
$[タ]$の解答群
\setstretch{2.5}
\[ \begin{array}{lll}
① 2 \cos \theta+\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & ② 2 \cos \theta-\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & ③ 2 \cos \theta+2\alpha \sin \theta \\
④ 2 \cos \theta-2 \alpha \sin \theta & ⑤ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta+\sin \theta} & ⑥ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta-\sin \theta} \\
④chi \displaystyle\frac{2}{\cos \theta+\alpha \sin \theta} & \maruhachi \displaystyle\frac{2}{\cos \theta-\alpha \sin \theta} &
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
公立 青森公立大学 2012年 第1問次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．
(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．
(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．
公立 高知工科大学 2012年 第3問右図のように$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の \\
二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAH}$，$\mathrm{AH}=1$とする． \\
$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$C_1$から始めて，$2$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接し，かつ，隣り \\
合う$2$円が互いに外接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を三角形の中に \\
作り，その半径を$r_1,\ r_2,\ r_3,\ \cdots$，面積を$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とする． \\
このとき，次の各問に答えよ．
\img{676_242_2012_1}{45}
(1)$r_1,\ r_2$の値を求めよ．
(2)数列$\{r_n\}$の一般項$r_n$を求めよ．
(3)無限級数
\[ \sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \]
の和を求めよ．
二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAH}$，$\mathrm{AH}=1$とする． \\
$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$C_1$から始めて，$2$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接し，かつ，隣り \\
合う$2$円が互いに外接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を三角形の中に \\
作り，その半径を$r_1,\ r_2,\ r_3,\ \cdots$，面積を$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とする． \\
このとき，次の各問に答えよ．
\img{676_242_2012_1}{45}
(1)$r_1,\ r_2$の値を求めよ．
(2)数列$\{r_n\}$の一般項$r_n$を求めよ．
(3)無限級数
\[ \sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \]
の和を求めよ．
公立 釧路公立大学 2012年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)次の式の展開式における$x^3y^3$の項の係数を求めよ．$(x-2y)^6$
(2)アタリくじ$3$枚とハズレくじ$7$枚が入っている箱がある．この箱からくじを$3$枚同時に取り出し，取り出されたアタリくじ$1$枚について$500$円を受け取るゲームがある．このゲームの参加料が何円未満であれば，このゲームに参加することが得であるといえるか求めよ．
(3)$3$辺が$\mathrm{AB}=12$，$\mathrm{BC}=13$，$\mathrm{CA}=5$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の接点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{BP}$の長さと内接円の半径を求めよ．
(1)次の式の展開式における$x^3y^3$の項の係数を求めよ．$(x-2y)^6$
(2)アタリくじ$3$枚とハズレくじ$7$枚が入っている箱がある．この箱からくじを$3$枚同時に取り出し，取り出されたアタリくじ$1$枚について$500$円を受け取るゲームがある．このゲームの参加料が何円未満であれば，このゲームに参加することが得であるといえるか求めよ．
(3)$3$辺が$\mathrm{AB}=12$，$\mathrm{BC}=13$，$\mathrm{CA}=5$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の接点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{BP}$の長さと内接円の半径を求めよ．
国立 金沢大学 2011年 第1問座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$をとる．また，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$ \\
の中点を$\mathrm{L}$，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{B}$と$\mathrm{O}$の中点を$\mathrm{N}$とする． \\
さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$C_1$，$\triangle \mathrm{LMN}$の外接円を$C_2$とする． \\
次の問いに答えよ．
\img{355_1273_2011_1}{28}
(1)円$C_1$の半径$r_1$と中心$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．
(2)円$C_2$の半径$r_2$と中心$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)円$C_1$と円$C_2$が接することを示せ．
の中点を$\mathrm{L}$，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{B}$と$\mathrm{O}$の中点を$\mathrm{N}$とする． \\
さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$C_1$，$\triangle \mathrm{LMN}$の外接円を$C_2$とする． \\
次の問いに答えよ．
\img{355_1273_2011_1}{28}
(1)円$C_1$の半径$r_1$と中心$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．
(2)円$C_2$の半径$r_2$と中心$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)円$C_1$と円$C_2$が接することを示せ．