「内接円」について
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国立 大分大学 2012年 第2問三角形OABで$\displaystyle \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{6}$とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)三角形OABの外接円の中心(外心)Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)頂点OとAからそれぞれの対辺ABとOBに下ろした垂線の交点(垂心)をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の値を求めよ．
(4)三角形OABの内接円の中心(内心)Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(1)三角形OABの外接円の中心(外心)Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)頂点OとAからそれぞれの対辺ABとOBに下ろした垂線の交点(垂心)をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の値を求めよ．
(4)三角形OABの内接円の中心(内心)Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
国立 防衛大学校 2012年 第4問$\angle \mathrm{ACB}$が直角の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．また，$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BD}=15$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の半径$r$と，外接円の半径$R$を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の半径$r$と，外接円の半径$R$を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第5問次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)上図$\mathrm{I}$において，点$\mathrm{O}$を中心とする円の半径を$R$とする．この円の弦$\mathrm{XY}$上の任意の点を$\mathrm{P}$とするとき，等式
\[ \mathrm{OP}^2=R^2-\mathrm{XP} \cdot \mathrm{YP} \]
が成り立つことを示せ．
(2)上図$\mathrm{II}$の$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，内心を$\mathrm{I}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円，内接円の半径をそれぞれ$R$，$r$とする．また，直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{D}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．
(i) $\mathrm{DB}=\mathrm{DI}$であることを示せ．
(ii) $\mathrm{AI} \cdot \mathrm{DI}=2Rr$であることを示せ．
(iii) $\mathrm{OI}^2=R^2-2Rr$であることを示せ．
（図は省略）
(1)上図$\mathrm{I}$において，点$\mathrm{O}$を中心とする円の半径を$R$とする．この円の弦$\mathrm{XY}$上の任意の点を$\mathrm{P}$とするとき，等式
\[ \mathrm{OP}^2=R^2-\mathrm{XP} \cdot \mathrm{YP} \]
が成り立つことを示せ．
(2)上図$\mathrm{II}$の$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，内心を$\mathrm{I}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円，内接円の半径をそれぞれ$R$，$r$とする．また，直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{D}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．
(i) $\mathrm{DB}=\mathrm{DI}$であることを示せ．
(ii) $\mathrm{AI} \cdot \mathrm{DI}=2Rr$であることを示せ．
(iii) $\mathrm{OI}^2=R^2-2Rr$であることを示せ．
国立 福島大学 2012年 第2問座標平面上の3点$\mathrm{A}(9,\ 12)$，$\mathrm{B}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(25,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$および，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円と外接円を考える．三角形$\mathrm{ABC}$の内接円は，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$とそれぞれ点$\mathrm{D},\ \mathrm{E},\ \mathrm{F}$で接する．また，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心と点$\mathrm{A}$を通る直線は，辺$\mathrm{BC}$と点$\mathrm{G}$で交わる．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)3辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$の長さを求めなさい．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径と中心の座標を求めなさい．
(4)点$\mathrm{G}$の座標を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の方程式を求めなさい．
(1)3辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$の長さを求めなさい．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径と中心の座標を求めなさい．
(4)点$\mathrm{G}$の座標を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の方程式を求めなさい．
国立 山形大学 2012年 第1問$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．
国立 山形大学 2012年 第4問$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．
私立 上智大学 2012年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において， $\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}$，内心を$\mathrm{Q}$とおく．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}\sqrt{[シ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]}\sqrt{[ソ]}$である．
(3)$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$ とおくとき，$\cos \alpha = \displaystyle\frac{[タ]}{[チ]}\sqrt{[ツ]}$である．
(4)$\angle \mathrm{QAB}=\beta$ とおくとき，$\cos \beta = \displaystyle\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(5)$\mathrm{AQ}=$[ナ]である．
(6)$\mathrm{PQ}= \displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}\sqrt{[ネ]}$である．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}\sqrt{[シ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]}\sqrt{[ソ]}$である．
(3)$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$ とおくとき，$\cos \alpha = \displaystyle\frac{[タ]}{[チ]}\sqrt{[ツ]}$である．
(4)$\angle \mathrm{QAB}=\beta$ とおくとき，$\cos \beta = \displaystyle\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(5)$\mathrm{AQ}=$[ナ]である．
(6)$\mathrm{PQ}= \displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}\sqrt{[ネ]}$である．
私立 倉敷芸術科学大学 2012年 第6問$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{BC}=15,\ \mathrm{CA} = 4,\ \mathrm{AB} = 13$のとき，次の値を求めよ．
(1)$\cos A$および$\sin A$
(2)外接円の半径
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積および内接円の半径
(1)$\cos A$および$\sin A$
(2)外接円の半径
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積および内接円の半径
私立 自治医科大学 2012年 第14問辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$のそれぞれの長さが，$2$，$6$，$6$となる三角形$\mathrm{ABC}$について考える．この三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$としたとき，$\displaystyle \frac{18r}{R}$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第3問$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=x+2$である三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{AD}=y$とする．三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の内接円の半径をそれぞれ$r_1,\ r_2$とするとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=\frac{3}{2}$を満たしている．ただし，$x$と$y$は定数とし，$x>0$，$y>0$とする．
(1)$x,\ y,\ \cos \angle \mathrm{ADB},\ \cos \angle \mathrm{ADC}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の半径をそれぞれ$R_1,\ R_2$とするとき，$R_1$と$R_2$の値をそれぞれ求めよ．
(1)$x,\ y,\ \cos \angle \mathrm{ADB},\ \cos \angle \mathrm{ADC}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の半径をそれぞれ$R_1,\ R_2$とするとき，$R_1$と$R_2$の値をそれぞれ求めよ．