「内接円」について
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公立 札幌医科大学 2014年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$に内接する半径$R$の円がある．内接円と辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$との接点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また$\alpha=\angle \mathrm{A}$，$\beta=\angle \mathrm{B}$，$\gamma=\angle \mathrm{C}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする．
(1)$S_1$を$\displaystyle R,\ \tan \frac{\alpha}{2},\ \tan \frac{\beta}{2},\ \tan \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．
(2)$S_2$を$\displaystyle R,\ \cos \frac{\alpha}{2},\ \cos \frac{\beta}{2},\ \cos \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．
以後$\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{2}$とする．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最大値を求めよ．
(1)$S_1$を$\displaystyle R,\ \tan \frac{\alpha}{2},\ \tan \frac{\beta}{2},\ \tan \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．
(2)$S_2$を$\displaystyle R,\ \cos \frac{\alpha}{2},\ \cos \frac{\beta}{2},\ \cos \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．
以後$\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{2}$とする．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最大値を求めよ．
公立 岩手県立大学 2014年 第4問以下の問いに答えなさい．
下図のように，外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．この中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる．すなわち，$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい．
(3)ここで，改めて，$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し，一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き，この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく．このようにして，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい．
下図のように，外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．この中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる．すなわち，$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい．
(3)ここで，改めて，$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し，一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き，この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく．このようにして，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい．
私立 倉敷芸術科学大学 2013年 第6問$\triangle \mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BDC}=120^\circ$とする．
(1)辺$\mathrm{BD}$，$\mathrm{BC}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(1)辺$\mathrm{BD}$，$\mathrm{BC}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
私立 西南学院大学 2013年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=3+\sqrt{3}$である．$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に垂線を下ろし，垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AH}=\sqrt{[サ]},\quad \angle \mathrm{BAC}=[シスセ]^\circ \]
である．さらに，点$\mathrm{A}$が三角形$\mathrm{DBC}$の内接円の中心となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，
\[ \mathrm{AD}^2=[ソタ]+[チツ] \sqrt{[テ]} \]
である．
\[ \mathrm{AH}=\sqrt{[サ]},\quad \angle \mathrm{BAC}=[シスセ]^\circ \]
である．さらに，点$\mathrm{A}$が三角形$\mathrm{DBC}$の内接円の中心となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，
\[ \mathrm{AD}^2=[ソタ]+[チツ] \sqrt{[テ]} \]
である．
私立 北里大学 2013年 第3問次の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値は$[ ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AI}$の長さを線分$\mathrm{ID}$の長さで割った$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$の値は$[ ]$である．
(2)放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とおく．点$(2,\ -5)$から$C$に引いた$2$本の接線の方程式は$y=[ ]$と$y=[ ]$である．これら$2$本の接線と$C$で囲まれた図形の面積は$[ ]$である．
(1)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値は$[ ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AI}$の長さを線分$\mathrm{ID}$の長さで割った$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$の値は$[ ]$である．
(2)放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とおく．点$(2,\ -5)$から$C$に引いた$2$本の接線の方程式は$y=[ ]$と$y=[ ]$である．これら$2$本の接線と$C$で囲まれた図形の面積は$[ ]$である．
私立 安田女子大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=12$，$\mathrm{CA}=13$のとき，次の問いに答えよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{B}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{B}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
私立 京都薬科大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数を記入せよ．
(1)直線$(1-k)x+(1+k)y-k-3=0$は定数$k$の値によらず定点$\mathrm{A}$を通る．このとき，定点$\mathrm{A}$の座標は，$([ ],\ [ ])$である．また，中心が点$\mathrm{A}$で，直線$x+y=5$に接する円の半径は$[ ]$となる．
(2)空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ -3)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$において，線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}$の座標は，$([ ],\ [ ],\ [ ])$である．また，このとき，$\cos \angle \mathrm{AOC}=[ ]$となる．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$とする．また，$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$となり，$\mathrm{BP}=[ ]$，$\mathrm{AP}=[ ]$となる．$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とすると，$r=[ ]$である．
(4)$4$つの数
$\log_2 (\log_4 (\log_8 16))$，$\log_4 (\log_8 (\log_2 16))$，$\log_8 (\log_2 (\log_4 16))$，$\log_2 (\log_8 (\log_4 16))$の大小を比較すると，$[ ]<[ ]<[ ]<[ ]$となる．
(1)直線$(1-k)x+(1+k)y-k-3=0$は定数$k$の値によらず定点$\mathrm{A}$を通る．このとき，定点$\mathrm{A}$の座標は，$([ ],\ [ ])$である．また，中心が点$\mathrm{A}$で，直線$x+y=5$に接する円の半径は$[ ]$となる．
(2)空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ -3)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$において，線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}$の座標は，$([ ],\ [ ],\ [ ])$である．また，このとき，$\cos \angle \mathrm{AOC}=[ ]$となる．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$とする．また，$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$となり，$\mathrm{BP}=[ ]$，$\mathrm{AP}=[ ]$となる．$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とすると，$r=[ ]$である．
(4)$4$つの数
$\log_2 (\log_4 (\log_8 16))$，$\log_4 (\log_8 (\log_2 16))$，$\log_8 (\log_2 (\log_4 16))$，$\log_2 (\log_8 (\log_4 16))$の大小を比較すると，$[ ]<[ ]<[ ]<[ ]$となる．
私立 安田女子大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=12$，$\mathrm{CA}=13$のとき，次の問いに答えよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{B}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{B}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
私立 広島工業大学 2013年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=1+\sqrt{6}$，$\mathrm{CA}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{3}$とする．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$を求めよ．
国立 奈良女子大学 2012年 第4問三角形$\mathrm{ABC}$は各辺の長さが$1$の正三角形であるとする．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{F}$を$\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=\mathrm{CF}=x$となるようにとる．ただし$0<x<1$とする．次の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{DEF}$の外接円の半径$R$を$x$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$R$を最小にする$x$の値を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{DEF}$の外接円の半径$R$を$x$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$R$を最小にする$x$の値を求めよ．