「内心」について
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私立 上智大学 2012年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において， $\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}$，内心を$\mathrm{Q}$とおく．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}\sqrt{[シ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]}\sqrt{[ソ]}$である．
(3)$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$ とおくとき，$\cos \alpha = \displaystyle\frac{[タ]}{[チ]}\sqrt{[ツ]}$である．
(4)$\angle \mathrm{QAB}=\beta$ とおくとき，$\cos \beta = \displaystyle\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(5)$\mathrm{AQ}=$[ナ]である．
(6)$\mathrm{PQ}= \displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}\sqrt{[ネ]}$である．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}\sqrt{[シ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]}\sqrt{[ソ]}$である．
(3)$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$ とおくとき，$\cos \alpha = \displaystyle\frac{[タ]}{[チ]}\sqrt{[ツ]}$である．
(4)$\angle \mathrm{QAB}=\beta$ とおくとき，$\cos \beta = \displaystyle\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(5)$\mathrm{AQ}=$[ナ]である．
(6)$\mathrm{PQ}= \displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}\sqrt{[ネ]}$である．
私立 大同大学 2012年 第7問$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}=10$をみたす二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，内接円の半径を$\sqrt{5}$とする．
(1)線分$\mathrm{BI}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{BI}$，$\mathrm{IP}=2 \sqrt{5}$をみたすようにとる．$\cos \angle \mathrm{IBP}$の値を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(1)線分$\mathrm{BI}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{BI}$，$\mathrm{IP}=2 \sqrt{5}$をみたすようにとる．$\cos \angle \mathrm{IBP}$の値を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
国立 千葉大学 2011年 第10問三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，重心を$\mathrm{G}$，内心を$\mathrm{I}$とする．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
国立 お茶の水女子大学 2011年 第4問平面内に三角形ABCがある．その平面上で，1点Oを定めておく．次の問いに答えよ．
(1)三角形ABCの内部に点Pがあるとする．このとき，3つの三角形PBC，PCA，PABの面積の比が$x:y:z$であるならば，点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}}+z \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z} \]
(2)三角形ABCの3辺の長さを$a=\text{BC},\ b=\text{CA},\ c=\text{AB}$とする．このとき三角形ABCの内心Iについて，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)三角形ABCが鋭角三角形であるとき，その外心Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha=\angle \text{CAB},\ \beta=\angle \text{ABC}$を用いて表せ．
(1)三角形ABCの内部に点Pがあるとする．このとき，3つの三角形PBC，PCA，PABの面積の比が$x:y:z$であるならば，点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}}+z \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z} \]
(2)三角形ABCの3辺の長さを$a=\text{BC},\ b=\text{CA},\ c=\text{AB}$とする．このとき三角形ABCの内心Iについて，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)三角形ABCが鋭角三角形であるとき，その外心Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha=\angle \text{CAB},\ \beta=\angle \text{ABC}$を用いて表せ．
国立 長崎大学 2011年 第2問$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{CA}=5$である直角三角形$\mathrm{ABC}$と，その内側にあって$2$辺$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$に接する円$\mathrm{O}$を考える．この円の半径を$r$とし，中心$\mathrm{O}$から$\mathrm{AB}$に引いた垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と同じ向きで大きさが$1$のベクトルを，それぞれ$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{u} \ (t>0)$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求め，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{HO}}$を，それぞれ$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$および$t$を用いて表せ．また，円$\mathrm{O}$の半径$r$を$t$で表せ．
(3)円$\mathrm{O}$が辺$\mathrm{BC}$にも接するとき，その中心を$\mathrm{I}$とする．すなわち，$\mathrm{I}$は三角形$\mathrm{ABC}$の内心である．そのときの$t$の値と，内接円$\mathrm{I}$の半径を求めよ．
(4)円$\mathrm{O}$と内接円$\mathrm{I}$が共有点をもたないような$t$の範囲を求めよ．
(1)直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求め，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{HO}}$を，それぞれ$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$および$t$を用いて表せ．また，円$\mathrm{O}$の半径$r$を$t$で表せ．
(3)円$\mathrm{O}$が辺$\mathrm{BC}$にも接するとき，その中心を$\mathrm{I}$とする．すなわち，$\mathrm{I}$は三角形$\mathrm{ABC}$の内心である．そのときの$t$の値と，内接円$\mathrm{I}$の半径を求めよ．
(4)円$\mathrm{O}$と内接円$\mathrm{I}$が共有点をもたないような$t$の範囲を求めよ．
国立 横浜国立大学 2010年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=5$を満たしている．$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{Q}$を，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{Q}$が一直線上にあるようにとるとき，$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{Q}$を，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{Q}$が一直線上にあるようにとるとき，$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$のとりうる値の範囲を求めよ．