「内心」について
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私立 南山大学 2016年 第3問$3$辺の長さが$\mathrm{OP}=5$，$\mathrm{OQ}=6$，$\mathrm{PQ}=7$である$\triangle \mathrm{OPQ}$の内心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{OI}$と辺$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおく．
(1)面積比$\triangle \mathrm{IOP}:\triangle \mathrm{IOQ}:\triangle \mathrm{IPQ}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(4)点$\mathrm{R}$を，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\overrightarrow{p}$となるようにとり，$\triangle \mathrm{OQR}$の内心を$\mathrm{J}$とする．このとき，$k \overrightarrow{\mathrm{OI}}-\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$と$\overrightarrow{p}$が平行となる$k$の値を求めよ．
(1)面積比$\triangle \mathrm{IOP}:\triangle \mathrm{IOQ}:\triangle \mathrm{IPQ}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(4)点$\mathrm{R}$を，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\overrightarrow{p}$となるようにとり，$\triangle \mathrm{OQR}$の内心を$\mathrm{J}$とする．このとき，$k \overrightarrow{\mathrm{OI}}-\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$と$\overrightarrow{p}$が平行となる$k$の値を求めよ．
私立 岡山理科大学 2016年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$において，内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とするとき，$\angle \mathrm{BIC}$を$\alpha$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{D}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$は$\mathrm{D}$を中心とする同一円周上にあることを証明せよ．
(3)$2$点$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$の距離を$d$とする．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$のとき，等式$(R+d)(R-d)=2rR$および不等式$R \geqq 2r$を証明せよ．
(4)$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$のとき，不等式$R>2r$を証明せよ．
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とするとき，$\angle \mathrm{BIC}$を$\alpha$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{D}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$は$\mathrm{D}$を中心とする同一円周上にあることを証明せよ．
(3)$2$点$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$の距離を$d$とする．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$のとき，等式$(R+d)(R-d)=2rR$および不等式$R \geqq 2r$を証明せよ．
(4)$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$のとき，不等式$R>2r$を証明せよ．
私立 名城大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答えを記入せよ．
(1)$100$未満の自然数で，$3$または$4$または$5$で割り切れる数は$[ア]$個，$3$または$4$で割り切れ$5$では割り切れない数は$[イ]$個である．
(2)\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
右図において，点$\mathrm{I}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心，点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点とし，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=6$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=[エ]$である．
\end{mawarikomi}
(3)整数$a$を$3$進数${122}_{(3)}$で割ったときの商と余りは，それぞれ${212}_{(3)}$と${102}_{(3)}$である．このとき，$a$を$3$進法で表すと${[オ]}_{(3)}$であり，$a$と$5$進数${410}_{(5)}$の和を$5$進法で表すと${[カ]}_{(5)}$である．
(4)不等式$2 |x-a|<x+1$について考える．$a=5$のとき，この不等式を満たす整数$x$は$[キ]$個である．また，この不等式を満たす整数$x$が$5$個あるとき，整数$a$の値は$[ク]$である．
(5)$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$で$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[ケ]$，$\cos 2\theta=[コ]$である．
(6)$a,\ b$は自然数で，$a^5 b^2$が$20$桁の数であり，かつ，$\displaystyle \frac{a^5}{b^2}$の整数部分が$10$桁であるとする．このとき，$a,\ b$の桁数をそれぞれ$m,\ n$とすると，$m=[サ]$，$n=[シ]$である．
(7)円$x^2+y^2-2(x+y)+1=0$と直線$y+2x=k$が共有点をもつとき，$k$の最大値は$[ス]$である．また，この円と直線$y=ax-3a$が共有点をもつとき，$a$の最小値は$[セ]$である．
(1)$100$未満の自然数で，$3$または$4$または$5$で割り切れる数は$[ア]$個，$3$または$4$で割り切れ$5$では割り切れない数は$[イ]$個である．
(2)\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
右図において，点$\mathrm{I}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心，点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点とし，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=6$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=[エ]$である．
\end{mawarikomi}
(3)整数$a$を$3$進数${122}_{(3)}$で割ったときの商と余りは，それぞれ${212}_{(3)}$と${102}_{(3)}$である．このとき，$a$を$3$進法で表すと${[オ]}_{(3)}$であり，$a$と$5$進数${410}_{(5)}$の和を$5$進法で表すと${[カ]}_{(5)}$である．
(4)不等式$2 |x-a|<x+1$について考える．$a=5$のとき，この不等式を満たす整数$x$は$[キ]$個である．また，この不等式を満たす整数$x$が$5$個あるとき，整数$a$の値は$[ク]$である．
(5)$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$で$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[ケ]$，$\cos 2\theta=[コ]$である．
(6)$a,\ b$は自然数で，$a^5 b^2$が$20$桁の数であり，かつ，$\displaystyle \frac{a^5}{b^2}$の整数部分が$10$桁であるとする．このとき，$a,\ b$の桁数をそれぞれ$m,\ n$とすると，$m=[サ]$，$n=[シ]$である．
(7)円$x^2+y^2-2(x+y)+1=0$と直線$y+2x=k$が共有点をもつとき，$k$の最大値は$[ス]$である．また，この円と直線$y=ax-3a$が共有点をもつとき，$a$の最小値は$[セ]$である．
公立 札幌医科大学 2015年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，内心を$\mathrm{I}$とし，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．また直線$\mathrm{AI}$が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．
(1)線分$\mathrm{BD}$の長さを$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
今後，$a+b+c=1$とし，三角形$\mathrm{BGC}$の面積を$S$，三角形$\mathrm{BIC}$の面積を$T$とおく．
(3)$\displaystyle \frac{T}{S}$を$a$を用いて表せ．
(4)$b<a<c$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)線分$\mathrm{BD}$の長さを$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
今後，$a+b+c=1$とし，三角形$\mathrm{BGC}$の面積を$S$，三角形$\mathrm{BIC}$の面積を$T$とおく．
(3)$\displaystyle \frac{T}{S}$を$a$を用いて表せ．
(4)$b<a<c$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2014年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{I}$と$\mathrm{O}$が一致するとき，$R=2r$となることを証明しなさい．
(2)$\angle \mathrm{ABC}$と$\angle \mathrm{ACB}$がともに${60}^\circ$より小さいとき，$\mathrm{BC}>2 \sqrt{3}r$となることを証明しなさい．
(1)$\mathrm{I}$と$\mathrm{O}$が一致するとき，$R=2r$となることを証明しなさい．
(2)$\angle \mathrm{ABC}$と$\angle \mathrm{ACB}$がともに${60}^\circ$より小さいとき，$\mathrm{BC}>2 \sqrt{3}r$となることを証明しなさい．
国立 長崎大学 2014年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=6$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線は点$\mathrm{I}$で交わる．$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{BI}:\mathrm{ID}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．$\cos \theta$と内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x \overrightarrow{b}+y \overrightarrow{c}$と表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線上にあるとき，$x$と$y$が満たす関係式を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の垂直$2$等分線は点$\mathrm{O}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線は点$\mathrm{I}$で交わる．$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{BI}:\mathrm{ID}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．$\cos \theta$と内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x \overrightarrow{b}+y \overrightarrow{c}$と表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線上にあるとき，$x$と$y$が満たす関係式を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の垂直$2$等分線は点$\mathrm{O}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
私立 杏林大学 2014年 第3問$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．
$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸上にあり，原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている．三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする．
(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと，$s+t+u=[ア]$が成り立つ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる．
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は，線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する．点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である．
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ．
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する．
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり，点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である．
$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸上にあり，原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている．三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする．
(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと，$s+t+u=[ア]$が成り立つ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる．
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は，線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する．点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である．
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ．
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する．
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり，点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である．
$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
私立 上智大学 2014年 第1問正三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AD}$，点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{BE}$とする．$\triangle \mathrm{ABD}$の内心を$\mathrm{O}$とするとき，内接円$\mathrm{O}$の半径は$1$である．円$\mathrm{O}$と$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BD}$との接点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．
(1)$\mathrm{AE}=[ア]+\sqrt{[イ]}$である．
(2)$\mathrm{AF}=[ウ]+\sqrt{[エ]}$である．
(3)$\mathrm{AO}=\sqrt{[オ]}+\sqrt{[カ]}$である．ただし，$[オ]<[カ]$とする．
(4)$\displaystyle \mathrm{FG}=\frac{\sqrt{[キ]}+\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$である．ただし，$[キ]<[ク]$とする．
(5)円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{H}$を含まない弧$\mathrm{FG}$と線分$\mathrm{AF}$および線分$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積は
\[ [コ]+\sqrt{[サ]}+\frac{[シ]}{[ス]}\pi \]
である．
(1)$\mathrm{AE}=[ア]+\sqrt{[イ]}$である．
(2)$\mathrm{AF}=[ウ]+\sqrt{[エ]}$である．
(3)$\mathrm{AO}=\sqrt{[オ]}+\sqrt{[カ]}$である．ただし，$[オ]<[カ]$とする．
(4)$\displaystyle \mathrm{FG}=\frac{\sqrt{[キ]}+\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$である．ただし，$[キ]<[ク]$とする．
(5)円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{H}$を含まない弧$\mathrm{FG}$と線分$\mathrm{AF}$および線分$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積は
\[ [コ]+\sqrt{[サ]}+\frac{[シ]}{[ス]}\pi \]
である．
公立 岩手県立大学 2014年 第4問以下の問いに答えなさい．
下図のように，外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．この中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる．すなわち，$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい．
(3)ここで，改めて，$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し，一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き，この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく．このようにして，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい．
下図のように，外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．この中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる．すなわち，$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい．
(3)ここで，改めて，$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し，一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き，この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく．このようにして，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい．
公立 横浜市立大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$を相異なる実数とする．$x,\ y,\ z$に関する連立$3$元$1$次方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x-ay+a^2z=a^4 \\
x-by+b^2z=b^4 \\
x-cy+c^2z=c^4
\end{array} \right. \]
を解きたい．その解を基本対称式
\[ \begin{array}{l}
A=a+b+c \\
B=ab+bc+ca \\
C=abc
\end{array} \]
を用いて表せ．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$をとる．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の内心を求めよ．
(3)行列$A$を
\setstretch{2.5}
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
\end{array} \right) \]
\setstretch{1.4}
とおく．このとき，行列の和
\[ A+A^2+\cdots +A^7+A^8 \]
を，（簡潔な形で）求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$を相異なる実数とする．$x,\ y,\ z$に関する連立$3$元$1$次方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x-ay+a^2z=a^4 \\
x-by+b^2z=b^4 \\
x-cy+c^2z=c^4
\end{array} \right. \]
を解きたい．その解を基本対称式
\[ \begin{array}{l}
A=a+b+c \\
B=ab+bc+ca \\
C=abc
\end{array} \]
を用いて表せ．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$をとる．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の内心を求めよ．
(3)行列$A$を
\setstretch{2.5}
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
\end{array} \right) \]
\setstretch{1.4}
とおく．このとき，行列の和
\[ A+A^2+\cdots +A^7+A^8 \]
を，（簡潔な形で）求めよ．