「内分」について
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国立 神戸大学 2016年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{OA}$の中点，$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点，$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．以下の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ．
国立 神戸大学 2016年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{OA}$の中点，$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点，$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．以下の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{AB}=7$とする．$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{AB}=7$とする．$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2016年 第5問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\mathrm{AB}=4$とする．$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点とし，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{OB}$上の点で線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$が垂直になるものとする．また，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}$を求めよ．
(4)$\mathrm{OR}:\mathrm{RP}$を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}$を求めよ．
(4)$\mathrm{OR}:\mathrm{RP}$を求めよ．
国立 九州大学 2016年 第2問$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．面積が$1$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$をそれぞれ$2:1$，$t:1-t$，$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また，$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BF}$，$\mathrm{BF}$と$\mathrm{CD}$，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AE}$の交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$3$直線$\mathrm{AE}$，$\mathrm{BF}$，$\mathrm{CD}$が$1$点で交わるときの$t$の値$t_0$を求めよ．
以下，$t$は$0<t<t_0$を満たすものとする．
\mon[$(2)$] $\mathrm{AP}=k \mathrm{AE}$，$\mathrm{CR}=\ell \mathrm{CD}$を満たす実数$k,\ \ell$をそれぞれ求めよ．
\mon[$(3)$] 三角形$\mathrm{BCQ}$の面積を求めよ．
\mon[$(4)$] 三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(1)$3$直線$\mathrm{AE}$，$\mathrm{BF}$，$\mathrm{CD}$が$1$点で交わるときの$t$の値$t_0$を求めよ．
以下，$t$は$0<t<t_0$を満たすものとする．
\mon[$(2)$] $\mathrm{AP}=k \mathrm{AE}$，$\mathrm{CR}=\ell \mathrm{CD}$を満たす実数$k,\ \ell$をそれぞれ求めよ．
\mon[$(3)$] 三角形$\mathrm{BCQ}$の面積を求めよ．
\mon[$(4)$] 三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
国立 九州大学 2016年 第2問$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．面積が$1$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$をそれぞれ$2:1$，$t:1-t$，$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また，$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BF}$，$\mathrm{BF}$と$\mathrm{CD}$，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AE}$の交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$3$直線$\mathrm{AE}$，$\mathrm{BF}$，$\mathrm{CD}$が$1$点で交わるときの$t$の値$t_0$を求めよ．
以下，$t$は$0<t<t_0$を満たすものとする．
\mon[$(2)$] $\mathrm{AP}=k \mathrm{AE}$，$\mathrm{CR}=\ell \mathrm{CD}$を満たす実数$k,\ \ell$をそれぞれ求めよ．
\mon[$(3)$] 三角形$\mathrm{BCQ}$の面積を求めよ．
\mon[$(4)$] 三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(1)$3$直線$\mathrm{AE}$，$\mathrm{BF}$，$\mathrm{CD}$が$1$点で交わるときの$t$の値$t_0$を求めよ．
以下，$t$は$0<t<t_0$を満たすものとする．
\mon[$(2)$] $\mathrm{AP}=k \mathrm{AE}$，$\mathrm{CR}=\ell \mathrm{CD}$を満たす実数$k,\ \ell$をそれぞれ求めよ．
\mon[$(3)$] 三角形$\mathrm{BCQ}$の面積を求めよ．
\mon[$(4)$] 三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第1問平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$を考える．$m,\ n$は正の実数とする．
(1)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2$を${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．さらに
\[ \frac{mn}{m+n} {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+(m+n) {|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2=n {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+m {|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2 \]
を示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_1$，辺$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_2$，辺$\mathrm{CA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_3$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2$は
\[ \frac{mn}{{(m+n)}^2} \left( {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2 \right)+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
に等しいことを示せ．
(3)$(2)$の$m,\ n$を変化させたとき
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
の最大値を${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2$で表せ．
(1)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2$を${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．さらに
\[ \frac{mn}{m+n} {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+(m+n) {|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2=n {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+m {|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2 \]
を示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_1$，辺$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_2$，辺$\mathrm{CA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_3$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2$は
\[ \frac{mn}{{(m+n)}^2} \left( {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2 \right)+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
に等しいことを示せ．
(3)$(2)$の$m,\ n$を変化させたとき
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
の最大値を${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2$で表せ．
国立 岐阜大学 2016年 第5問$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CE}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)辺$\mathrm{AB}$を$7:1$に外分する点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$を$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$となる直角二等辺三角形とするとき，$\angle \mathrm{CEG}$の大きさを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CE}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)辺$\mathrm{AB}$を$7:1$に外分する点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$を$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$となる直角二等辺三角形とするとき，$\angle \mathrm{CEG}$の大きさを求めよ．
国立 信州大学 2016年 第2問曲線$C:y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．