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岐阜大学 国立 岐阜大学 2013年 第4問
正の整数$n$について,$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を次で定める.
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x \log x \\
f_{n+1}(x)=(n+1) \int_1^x f_n(t) \, dt+\displaystyle\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array} \]
以下の問に答えよ.ただし,$\log x$は$x$の自然対数とする.

(1)関数$f_2(x)$を求めよ.
(2)関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し,それを数学的帰納法で証明せよ.
(3)$g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき,$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ.また,微分係数$g^\prime(1)$を求めよ.
福井大学 国立 福井大学 2011年 第4問
関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている.
\[ (\text{i}) f_0(x)=e^x,\quad (\text{ii}) f_n(x)=\int_0^x (n+t)f_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき以下の問いに答えよ.

(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ.
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し,その結果を数学的帰納法で証明せよ.
福井大学 国立 福井大学 2011年 第4問
関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている.

$(ⅰ)$ $f_0(x)=e^{2x}+1$
$(ⅱ)$ $\displaystyle f_n(x)=\int_0^x (n+2t)f_{n-1}(t) \, dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき以下の問いに答えよ.

(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ.
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し,その結果を数学的帰納法で証明せよ.
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ f_n^\prime \left( \frac{1}{2} \right) \right\}$を求めよ.ただし,$0<r<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$となることを用いてよい.
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