平面上に$2$つの円があり，それぞれの半径は$7$と$4$である．この$2$つの円の中心間の距離を$d$，共通接線の数を$n$とすると，$d$の値に応じて$n$の値が定まる．ただし，共通接線が存在しない場合は$n=0$とする．以下の問に答えよ．

(1)$d$が任意の値をとるとき，$n$の最大値は$[ヌ]$である．
(2)$d \leqq 11$のとき，$n$の最大値は$[ネ]$である．
(3)$d<[ノ]$のとき，$n=0$である．

$a,\ b$が実数であるとする．次の$2$つの$2$次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad ax^2+bx+1=0 \]
が，共通の虚数解をもつとき，その解は
\[ \frac{-[ネ] \pm \sqrt{[ノ]}i}{2} \]
となる．

次の$[　]$にあてはまる答を記せ．

(1)$k$を定数とするとき，方程式$\sqrt{4x-3}=x+k$の実数解の個数が$2$個となる$k$の値の範囲は$[ア]$，実数解の個数が$1$個となる$k$の値の範囲は$[イ]$である．また，曲線$y=\sqrt{4x-3}$と直線$y=x$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[ウ]$である．
(2)曲線$y=kx^3-1$と曲線$y=\log x$が共有点をもち，その点において共通の接線をもつとするとき，定数$k$の値は$[エ]$，共通の接線の方程式は$y=[オ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{a_n\}$は
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=S_n+n^2+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．このとき，$a_4=[カ]$であり，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．また，$S_n=[ク]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(i) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ケ]$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=[コ] \overrightarrow{b}+[サ] \overrightarrow{c}$である．
(iii) 直線$\mathrm{BO}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$は$[シ]$である．

(5)$\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$さんは，毎日正午に次の規則にしたがって食事をとる．

(i) 食堂$\mathrm{A}$，食堂$\mathrm{B}$，食堂$\mathrm{C}$のいずれかで食事をとる．
(ii) 食堂は前日とは異なる$2$つの食堂のうちの$1$つを無作為に選ぶ．
(iii) $2$人が同じ食堂を選んだ日は，必ず一緒に食事をとる．

$1$日目，$2$人は別々の食堂で食事をとったとする．このとき，$3$日目に初めて$2$人が一緒に食事をとる確率は$[ス]$である．また，$2$人が一緒に食事をとる$2$回目の日が$7$日目となる確率は$[セ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$1$個のさいころを振る試行を繰り返す．出た目の和が$6$以上になったら，この試行を終了する．

(i) $3$回目に和がちょうど$6$になってこの試行を終了する確率を求めよ．
(ii) この試行が$3$回以内に終了する確率を求めよ．

(2)等差数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の一般項が，それぞれ$a_n=3n-2$，$b_n=7n+4$であるとき，この$2$つの数列に共通な項を小さい方から順に並べてできる数列を$\{c_n\}$とする．次の各問に答えよ．

(i) 数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) 数列$\{c_n\}$の項のうち，$4$の倍数でかつ$3$桁の整数となる項の数とその総和を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)製品が$50$個あり，そのうち$5$個が不良品である．この$50$個の中から$2$個を同時に取り出す検査で，不良品が見つかる確率を求めよ．
(2)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また，$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{DG}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{EF}=9$のとき，線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
(3)下の図において，直線$\ell$は$2$つの円$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$の共通接線で，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は接点である．円$\mathrm{O}$の半径を$5$，円$\mathrm{O}^\prime$の半径を$3$とし，$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$間の距離を$10$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
（図は省略）

半径$1$の$2$つの球$S_1$と$S_2$が$1$点で接している．互いに重なる部分のない等しい半径を持つ$n$個（$n \geqq 3$）の球$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$があり，次の条件（ア），（イ）を満たす．

\mon[（ア）] $T_i$は$S_1$，$S_2$にそれぞれ$1$点で接している（$i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
\mon[（イ）] $T_i$は$T_{i+1}$に$1$点で接しており（$i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$），そして$T_n$は$T_1$に$1$点で接している．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の共通の半径$r_n$を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$の中心を結ぶ直線のまわりに$T_1$を回転してできる回転体の体積を$V_n$とし，$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の体積の和を$W_n$とするとき，極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{W_n}{V_n} \]
を求めよ．

$0<x<2\pi$のとき，$y=2 \sin x$のグラフと$y=a-\cos 2x$のグラフが接するように定数$a$の値を定め，そのときの$2$つのグラフをかけ．ただし，$2$つのグラフがある共有点で共通の接線をもつとき，これらのグラフは接するという．

図のように半径$2$の円$\mathrm{O}$と半径$5$の円$\mathrm{O}^\prime$があり，$\mathrm{OO}^\prime=6$である．円$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$の共通接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}$と$\mathrm{O}^\prime$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$とし，その延長と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{MS} \cdot \mathrm{MT}$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{ST}$の長さを求めよ．

次の問について，答えを$[　]$に記入せよ．

(1)$\displaystyle \tan 2\alpha=\frac{1}{2}$かつ$\tan \alpha>0$のとき，$\tan \alpha=[ア]$であり，また$\tan 3\alpha=[イ]$である．
(2)$r>0$に対し，中心$(-2,\ 7)$，半径$r^2+3r+4$の円$C_1$と中心$(3,\ -5)$，半径$2r^2+7r+1$の円$C_2$を考える．$C_1$と$C_2$がちょうど$3$本の共通接線をもつとき$r=[ウ]$であり，$C_1$と$C_2$が平行な共通接線をもつとき$r=[エ]$である．

$[ツ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

区間$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{2}{3} \pi$を定義域とする関数$f(\theta)=2 \sin^2 \theta+4 \sin \theta \cos \theta+4 \cos^2 \theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$は次の形に変形できる．
\[ f(\theta)=\sqrt{[ア]} \sin (2\theta+\alpha)+[イ] \]
ただし，$\alpha$は$\displaystyle \tan \alpha=\frac{[ウ]}{[エ]}$を満たし，$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{[オ]}-[カ]$が成り立つ．
(2)$f(\theta)$は，$\displaystyle \theta=\frac{[キ]}{[ク]} \pi$のとき最小値$\displaystyle [ケ] \sqrt{[コ]}+\frac{[サ]}{[シ]}$をとり，
\[ \tan \theta=\frac{\sqrt{[ス]}-[セ]}{[ソ]} \]
を満たす$\theta$において最大値$\sqrt{[タ]}+[チ]$をとる．
(3)$k$を正の定数とすると，方程式$\displaystyle x^2+xy+\frac{1}{2}y^2=k$で表される図形は$[ツ]$である．この曲線と，
\[ x^2+y^2=4,\quad -1 \leqq x \leqq \sqrt{3},\quad y>0 \]
で表わされる弧が接するように$k$を定めると，$2$つの曲線の共通接線の傾きは$\displaystyle \frac{-\sqrt{[テ]}-[ト]}{[ナ]}$となる．

$[ツ]$の解答群
\[ ① \text{円} \qquad ② \text{放物線} \qquad ③ \text{楕円} \qquad ④ \text{双曲線} \]