媒介変数$t \ (0 < t \leqq \pi)$を用いて
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=\sin t \\
\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される$xy$平面上の曲線を$C_1$，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle x=\cos \theta \sin t-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \sin 2t \\　\\
\displaystyle y=\sin \theta \sin t+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される曲線を$C_2$とする．ここで，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$xy$平面上に$C_1$の概形を描け．
(2)直線$y=-\sqrt{3}x+k$が，$C_1$と少なくとも1点を共有するための実数$k$の条件を求めよ．
(3)直線$y=(\tan \theta)x+l$が，$C_2$と少なくとも1点を共有するための実数$l$の条件を求めよ．
(4)$C_1$が囲む領域の面積を求めよ．

次の各問の$[　]$に入る数値を書け．

(1)$x^{\log_5 x} = 25x$を満たす$x$は，大きい方から順に$x=[$1$]$と，$x=[$2$]$である．
(2)$y=x^3-ax^2+x+4$と$y=x$が，異なる$2$点のみを共有するとき，$a=[$3$]$であり，$x>0$の範囲で，$x=[$4$]$のとき共有点を持つ．
(3)放物線$\displaystyle C_1\ :\ y=\frac{x^2}{2}$と放物線$\displaystyle C_2\ :\ y=\frac{x^2}{2}-2x+4$にともに接する直線を$\ell$とするとき，$\ell$の傾きは，
$[$5$]$であり，$C_1,\ C_2,\ \ell$で囲まれた領域の面積は$[$6$]$である．

$a$は$\displaystyle a>\frac{1}{2}$を満たす定数とする．座標平面上の半径$R$の円$C_1:x^2+(y-a)^2=R^2$は，$y>0$の表す領域にある．円$C_1$が放物線$y=x^2$と共有する点は$2$点のみである．このとき，次の問いに答えよ．

(1)共有点の$y$座標および$a$を，$R$を用いて表せ．
(2)円$C_1$と放物線$y=x^2$の共有点における放物線の$2$つの接線のうち傾きが正のものを$\ell$とする．$\ell$の式を$R$を用いて表せ．
(3)点$(0,\ -a)$を中心とする半径$r$の円$C_2$が直線$\ell$と接するとき，$r$を$R$を用いて表せ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$[　]$である．
また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$[　]$である．
(2)$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$[　]$桁の整数である．また，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$は，小数第$[　]$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin x+\cos x+\sin 2x=-\frac{1}{2}$の解は，$x=[　]$である．また，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \sin y+\sqrt{3} \cos y+4 \cos^2 \left( y+\frac{\pi}{3} \right)=4$の解は，$y=[　]$である．

$P$は正$n$角形$(n \geqq 6)$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$P$の異なる2本の対角線の組で，$P$の頂点を共有するものは何通りあるか求めなさい．
(2)$P$の異なる2本の対角線の組で，$P$の頂点以外の点を共有するものは何通りあるか求めなさい．
(3)$P$の異なる2本の対角線の組で，共有点を持たないものは何通りあるか求めなさい．

$xy$平面上に放物線$C:y=-3x^2+3$と2点A$(1,\ 0)$，P$(0,\ 3p)$がある．線分APと$C$は，Aとは異なる点Qを共有している．

(1)定数$p$の存在する範囲を求めよ．
(2)$S_1$を，$C$と線分AQで囲まれた領域とし，$S_2$を，$C$，線分QP，および$y$軸とで囲まれた領域とする．$S_1$と$S_2$の面積の和が最小となる$p$の値を求めよ．

正20角形$P$について，次の問いに答えよ．

(1)正20角形$P$の対角線は何本ひけるか．
(2)正20角形$P$の頂点から3つを選び，これらを頂点とする三角形をつくるとき，$P$と辺を共有しない三角形はいくつあるか．ただし，合同な三角形は区別せずに1つと数えることにする．

$xy$平面上の2曲線$\displaystyle C_1 : y = \frac{\log x}{x}$と$C_2 : y = ax^2$は点Pを共有し，Pにおいて共通の接線をもっている．ただし，$a$は定数とする．次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

1辺の長さが1の正十二面体を考える．点O，A，B，C，D， \\
E，F，Gを図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ． \\
ただし，1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは \\
$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$であることを用いてよい．なお，正十二面体では， \\
すべての面は合同な正五角形であり， 各頂点は$3$つの正五 \\
角形に共有されている．
\img{366_2547_2011_1}{55}

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$のなす角を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正十二面体を考える．点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$， \\
$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ． \\
なお，正十二面体では，すべての面は合同な正五角形であり， \\
各頂点は$3$つの正五角形に共有されている．
\img{366_2546_2011_1}{36}


(1)$1$辺の長さが$1$の正五角形の対角線の長さを求めて， \\
内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABD}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらにその長さを求めよ．