$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間の$x$軸上，$y$軸上，$z$軸上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=2$であるという．そのとき，$\mathrm{BC}=a$とおき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく．

(1)$a$の取りうる値の範囲は
\[ \sqrt{[ア]} \leqq a \leqq \sqrt{[イ][ウ]} \]
である．
(2)$(ⅰ)$ $\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{[エ][オ]}(-a^2+[カ][キ])$である．
$(ⅱ)$ $\displaystyle S^2=\frac{1}{[ク][ケ]}(-a^4+[コ][サ]a^2-[シ][ス])$である．
(3)$\mathrm{OA}=x$とおいて，$S^2$を$x$を用いて表すと
\[ S^2=-\frac{[セ]}{[ソ]}x^4+[タ] \]
となる．
(4)$S=2 \sqrt{2}$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球（すなわち，中心がこの四面体の内部にあって，すべての面と$1$点のみを共有する球）の半径を$r$とおく．

(i) $\displaystyle r=\frac{\sqrt{[チ]}}{1+[ツ] \sqrt{[テ]}+\sqrt{[ト][ナ]}}$である．

(ii) $r=[ニ] \sqrt{[チ]}-[ヌ] \sqrt{[テ]}+[ネ] \sqrt{[ト][ナ]}-[ノ]$となる．

$\alpha,\ \beta$を実数とする．$xy$平面内で，点$(0,\ 3)$を中心とする円$C$と放物線
\[ y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta \]
が点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$を共有し，さらに$\mathrm{P}$における接線が一致している．このとき以下の問に答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)円$C$，放物線$\displaystyle y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面において，点$(1,\ 2)$を通る傾き$t$の直線を$\ell$とする．また，$\ell$に垂直で原点を通る直線と$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡が$2$次曲線$2x^2-ay=0$と$3$点のみを共有するような$a$の値を求めよ．また，そのとき$3$つの共有点の座標を求めよ．ただし$a \neq 0$とする．

実数$a>0$と$k>0$に対して$2$つの曲線
\[ C_1:y=ax^3,\quad C_2:y=k \log x \quad (x>0) \]
を考える．ここで，$\log x$は$x$の自然対数とする．$C_1$と$C_2$がただ$1$点を共有し，その点における接線が一致するとき，次の問いに答えよ．

(1)共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k$を$a$を用いて表せ．
(3)$k=4$のとき，$C_1$，$C_2$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

実数$a>0$と$k>0$に対して$2$つの曲線
\[ C_1:y=ax^2,\quad C_2:y=k \log x \quad (x>0) \]
を考える．ここで，$\log x$は$x$の自然対数とする．$C_1$と$C_2$がただ$1$点を共有し，その点における接線が一致するとき，次の問いに答えよ．

(1)共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k$を$a$を用いて表せ．
(3)$k=2e$のとき，$C_1$，$C_2$および$x$軸で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(4)(3)の$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

次の図のように，底面の半径が$3 \, \mathrm{cm}$，高さが$12 \, \mathrm{cm}$の円錐と，底面を共有し，円錐に内接する円柱がある．このとき，次の問いに答えよ．なお，円周率は$\pi$とする．
（図は省略）

(1)円柱の底面の半径を$x \, \mathrm{cm}$とするとき，円柱の高さ$h \, \mathrm{cm}$を$x$を用いて表せ．
(2)円柱の表面積の最大値を求めよ．

関数$f(x)=|x^2-3x|-x$について，以下の問いに答えなさい．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)直線$\ell:y=-x+k$と$y=f(x)$のグラフがちょうど$3$点を共有するとき，定数$k$の値を求めなさい．
(3)(2)で求めた$k$の値に対する直線$\ell$と$y=f(x)$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．

以下の各問いに答えよ．

(1)座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって，点$(2,\ -3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ．
(2)座標平面上の曲線$C:x^2+xy+y^2=3$について，以下の問いに答えよ．

(i) 原点のまわりの${45}^\circ$の回転移動によって，$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$C$で囲まれた図形のうち，$y \geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ．

(3)座標平面上において，曲線$C_1:y=x \log x (x \geqq 1)$と放物線$C_2:y=ax^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$を持つものとする．

(i) $a$の値を求めよ．
(ii) $C_1$，$C_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$，$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$の値を求めよ．

(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$で表し，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．$\displaystyle \tan \theta=\frac{3}{4}$になる$\displaystyle \theta \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$について，$\displaystyle \frac{a}{c} \cos (B-\theta)+\frac{b}{c} \cos (A+\theta)$の値を求めよ．
(5)$n$は自然数とする．導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ．
(6)$n$は$2$以上の自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{2^n}$は，小数第$(n-1)$位が$2$，小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表わされることを示せ．

図のように，正三角形を$9$つの部屋に辺で区切り，部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を定める．$1$つの球が部屋$\mathrm{P}$を出発し，$1$秒ごとに，そのまま部屋にとどまることなく，辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する．球が$n$秒後に部屋$\mathrm{Q}$にある確率を求めよ．

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（図は省略）

図のように，正三角形を$9$つの部屋に辺で区切り，部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を定める．$1$つの球が部屋$\mathrm{P}$を出発し，$1$秒ごとに，そのまま部屋にとどまることなく，辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する．球が$n$秒後に部屋$\mathrm{Q}$にある確率を求めよ．

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（図は省略）