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国立 千葉大学 2016年 第3問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$（$i$は虚数単位）とおく．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第3問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$（$i$は虚数単位）とおく．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第4問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$（$i$は虚数単位）とおく．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2016年 第4問$i$を虚数単位とし，$\displaystyle \alpha=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$とする．
(1)$\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6=-1$が成立することを示せ．
(2)$z=\alpha+\alpha^2+\alpha^4$とするとき，$z+\overline{z}$と$z \overline{z}$を求めよ．ここで$\overline{z}$は$z$の共役複素数である．
(3)$\alpha+\alpha^2+\alpha^4$を求めよ．
(1)$\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6=-1$が成立することを示せ．
(2)$z=\alpha+\alpha^2+\alpha^4$とするとき，$z+\overline{z}$と$z \overline{z}$を求めよ．ここで$\overline{z}$は$z$の共役複素数である．
(3)$\alpha+\alpha^2+\alpha^4$を求めよ．
国立 筑波大学 2015年 第6問$\alpha$を実数でない複素数とし，$\beta$を正の実数とする．以下の問いに答えよ．ただし，複素数$w$に対してその共役複素数を$\overline{w}$で表す．
(1)複素数平面上で，関係式$\alpha \overline{z}+\overline{\alpha}z=|z|^2$を満たす複素数$z$の描く図形を$C$とする．このとき，$C$は原点を通る円であることを示せ．
(2)複素数平面上で，$(z-\alpha)(\beta-\overline{\alpha})$が純虚数となる複素数$z$の描く図形を$L$とする．$L$は$(1)$で定めた$C$と$2$つの共有点をもつことを示せ．また，その$2$点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ．
(3)$\beta$の表す複素数平面上の点を$\mathrm{R}$とする．$(2)$で定めた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$を頂点とする三角形が正三角形であるとき，$\beta$を$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ．
(1)複素数平面上で，関係式$\alpha \overline{z}+\overline{\alpha}z=|z|^2$を満たす複素数$z$の描く図形を$C$とする．このとき，$C$は原点を通る円であることを示せ．
(2)複素数平面上で，$(z-\alpha)(\beta-\overline{\alpha})$が純虚数となる複素数$z$の描く図形を$L$とする．$L$は$(1)$で定めた$C$と$2$つの共有点をもつことを示せ．また，その$2$点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ．
(3)$\beta$の表す複素数平面上の点を$\mathrm{R}$とする．$(2)$で定めた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$を頂点とする三角形が正三角形であるとき，$\beta$を$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ．
私立 同志社大学 2015年 第4問（選択）$i=\sqrt{-1}$とし，$\overline{z}$は$z$の共役複素数を表すとする．次の問いに答えよ．
\mon[$(1)$] 複素数$z=2+i$に対して，複素数$z_1=(1+\sqrt{3}i) \overline{z}$の値を求めよ．
\mon[$(2)$] 実数$k$と複素数$z=1+ti$（$t$は実数）に対して，次の等式が成立する$k,\ t$の組をすべて求めよ．
\[ (1+\sqrt{3}i) \overline{z}=kz \]
\mon[$(3)$] 複素数$w_1$に対し，複素数$w_2,\ w_3$を
\[ w_2=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_1},\quad w_3=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_2} \]
によって定める．$w_3$を$w_1$を用いて表せ．
\mon[$(4)$] 上の$(1)$で求めた$z_1$に対して，複素数$z_n (n=2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ z_{n+1}=(1+\sqrt{3}i) \overline{z_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$z_{2m-1} (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$m$を用いて表せ．
\mon[$(1)$] 複素数$z=2+i$に対して，複素数$z_1=(1+\sqrt{3}i) \overline{z}$の値を求めよ．
\mon[$(2)$] 実数$k$と複素数$z=1+ti$（$t$は実数）に対して，次の等式が成立する$k,\ t$の組をすべて求めよ．
\[ (1+\sqrt{3}i) \overline{z}=kz \]
\mon[$(3)$] 複素数$w_1$に対し，複素数$w_2,\ w_3$を
\[ w_2=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_1},\quad w_3=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_2} \]
によって定める．$w_3$を$w_1$を用いて表せ．
\mon[$(4)$] 上の$(1)$で求めた$z_1$に対して，複素数$z_n (n=2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ z_{n+1}=(1+\sqrt{3}i) \overline{z_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$z_{2m-1} (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$m$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2014年 第4問$t$を定数とする$2$次方程式$\displaystyle z^2-tz+t-\frac{1}{2}=0$について，次の各問に答えよ．ただし，定数$t$は実数とする．
(1)この$2$次方程式が実数解をもち，すべての解が$-1$以上$1$以下であるような定数$t$の値の範囲を求めよ．
(2)この$2$次方程式が$2$つの共役な虚数解$z=x \pm yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）をもち，$x^2+y^2 \leqq 1$を満たすような定数$t$の値の範囲を求めよ．
(1)この$2$次方程式が実数解をもち，すべての解が$-1$以上$1$以下であるような定数$t$の値の範囲を求めよ．
(2)この$2$次方程式が$2$つの共役な虚数解$z=x \pm yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）をもち，$x^2+y^2 \leqq 1$を満たすような定数$t$の値の範囲を求めよ．