「公約数」について
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国立 神戸大学 2016年 第4問約数，公約数，最大公約数を次のように定める．
\begin{itemize}
$2$つの整数$a,\ b$に対して，$a=bk$をみたす整数$k$が存在するとき，$b$は$a$の約数であるという．
$2$つの整数に共通の約数をそれらの公約数という．
少なくとも一方が$0$でない$2$つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という．
\end{itemize}
以下の問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない整数で$a=pb+c$をみたしているとする．
(i) $a=18$，$b=30$，$c=-42$，$p=2$のとき，$a$と$b$の公約数の集合$S$，および$b$と$c$の公約数の集合$T$を求めよ．
(ii) $a$と$b$の最大公約数を$M$，$b$と$c$の最大公約数を$N$とする．$M$と$N$は等しいことを示せ．ただし，$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない任意の整数とする．
(2)自然数の列$\{a_n\}$を
\[ a_{n+2}=6a_{n+1}+a_n (n=1,\ 2,\ \cdots),\quad a_1=3,\quad a_2=4 \]
で定める．
(i) $a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．
(ii) $a_{n+4}$を$a_{n+2}$と$a_n$を用いて表せ．
(iii) $a_{n+2}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．
\begin{itemize}
$2$つの整数$a,\ b$に対して，$a=bk$をみたす整数$k$が存在するとき，$b$は$a$の約数であるという．
$2$つの整数に共通の約数をそれらの公約数という．
少なくとも一方が$0$でない$2$つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という．
\end{itemize}
以下の問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない整数で$a=pb+c$をみたしているとする．
(i) $a=18$，$b=30$，$c=-42$，$p=2$のとき，$a$と$b$の公約数の集合$S$，および$b$と$c$の公約数の集合$T$を求めよ．
(ii) $a$と$b$の最大公約数を$M$，$b$と$c$の最大公約数を$N$とする．$M$と$N$は等しいことを示せ．ただし，$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない任意の整数とする．
(2)自然数の列$\{a_n\}$を
\[ a_{n+2}=6a_{n+1}+a_n (n=1,\ 2,\ \cdots),\quad a_1=3,\quad a_2=4 \]
で定める．
(i) $a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．
(ii) $a_{n+4}$を$a_{n+2}$と$a_n$を用いて表せ．
(iii) $a_{n+2}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．
国立 大阪教育大学 2016年 第1問$1$から$20$までの整数を$1$つずつ書いた$20$枚のカードが入った袋がある．その袋からカードを$2$回引く．ただし，$1$回目に引いたカードを袋に戻してから$2$回目のカードを引く．$1$回目に引いたカードに書かれた整数を$a$とし，$2$回目に引いたカードに書かれた整数を$b$とする．
(1)$a,\ b$が$2$または$3$を公約数にもつ確率を求めよ．
(2)$a,\ b$が$2$または$3$または$5$を公約数にもつ確率を求めよ．
(3)$n$を$2$以上$40$以下の整数とする．$a+b=n$となる確率を，$n$を用いて表せ．
(4)$n$を$1$以上$20$以下の整数とする．$a,\ b$の最小値が$n$以下となる確率を，$n$を用いて表せ．
(1)$a,\ b$が$2$または$3$を公約数にもつ確率を求めよ．
(2)$a,\ b$が$2$または$3$または$5$を公約数にもつ確率を求めよ．
(3)$n$を$2$以上$40$以下の整数とする．$a+b=n$となる確率を，$n$を用いて表せ．
(4)$n$を$1$以上$20$以下の整数とする．$a,\ b$の最小値が$n$以下となる確率を，$n$を用いて表せ．
私立 明治大学 2012年 第1問以下の$[ ]$にあてはまる値を答えよ．
(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \begin{array}{l}
x=-\sin \theta+2\cos \theta \\
y= 2\sin \theta+3\cos \theta
\end{array} \]
と表されているとする．このとき，原点を$\mathrm{O}$とすると
\[ \mathrm{OP}^2 = [ア]\sqrt{2} \sin \left( [イ]\theta + \frac{\pi}{[ウ]} \right) + [エ] \]
が成り立つ．
(2)$4$つのサイコロを投げて，出た目の積を$m$とする．
(3)$m=10$となる確率は$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ][キ][ク]}$である．また，$m=60$となる確率は$\displaystyle\frac{[ケ]}{[コ][サ][シ]}$である．
(4)$m$が$10$と互いに素になる確率は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である．また，$m$が$10$の倍数となる確率は$\displaystyle\frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト][ナ]}$である．\\
ただし，自然数$a$と$b$が互いに素であるとは，$a$と$b$が$1$以外の公約数を持たないことをいう．
(5)$xy$座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$に正三角形$\mathrm{ABC}$が内接していて，三点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はその順に反時計回りに位置している．点$\mathrm{A}$の$x$座標と$y$座標はともに正とする．直線$\mathrm{AC}$と$y$軸は点$\mathrm{D}$で交わっていて，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{BC}$に平行な直線は，円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{E}$で接するという．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[ニ]$であって，$\tan (\angle \mathrm{ODE}) = [ヌ]$となる．ゆえに，点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ネ]$である．
(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \begin{array}{l}
x=-\sin \theta+2\cos \theta \\
y= 2\sin \theta+3\cos \theta
\end{array} \]
と表されているとする．このとき，原点を$\mathrm{O}$とすると
\[ \mathrm{OP}^2 = [ア]\sqrt{2} \sin \left( [イ]\theta + \frac{\pi}{[ウ]} \right) + [エ] \]
が成り立つ．
(2)$4$つのサイコロを投げて，出た目の積を$m$とする．
(3)$m=10$となる確率は$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ][キ][ク]}$である．また，$m=60$となる確率は$\displaystyle\frac{[ケ]}{[コ][サ][シ]}$である．
(4)$m$が$10$と互いに素になる確率は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である．また，$m$が$10$の倍数となる確率は$\displaystyle\frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト][ナ]}$である．\\
ただし，自然数$a$と$b$が互いに素であるとは，$a$と$b$が$1$以外の公約数を持たないことをいう．
(5)$xy$座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$に正三角形$\mathrm{ABC}$が内接していて，三点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はその順に反時計回りに位置している．点$\mathrm{A}$の$x$座標と$y$座標はともに正とする．直線$\mathrm{AC}$と$y$軸は点$\mathrm{D}$で交わっていて，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{BC}$に平行な直線は，円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{E}$で接するという．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[ニ]$であって，$\tan (\angle \mathrm{ODE}) = [ヌ]$となる．ゆえに，点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ネ]$である．
国立 長崎大学 2010年 第7問4次方程式の解について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．
\begin{screen}
自然数$k,\ l,\ m$が次の条件
\mon[(イ)] $k$と$l$は1以外の公約数をもたない
\mon[(ロ)] $k$は$lm$の約数である
を満たすならば，$k$は$m$の約数である．
\end{screen}
(1)$a,\ b,\ c,\ d$は整数で，$d \neq 0$とする．次の方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \]
が有理数の解$r$をもつとき，$|\,r\,|$は自然数であり，かつ$|\,d\,|$の約数に限ることを証明せよ．
(2)次の方程式
\[ 2x^4-2x-1=0 \]
の実数解はすべて無理数であることを証明せよ．
\begin{screen}
自然数$k,\ l,\ m$が次の条件
\mon[(イ)] $k$と$l$は1以外の公約数をもたない
\mon[(ロ)] $k$は$lm$の約数である
を満たすならば，$k$は$m$の約数である．
\end{screen}
(1)$a,\ b,\ c,\ d$は整数で，$d \neq 0$とする．次の方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \]
が有理数の解$r$をもつとき，$|\,r\,|$は自然数であり，かつ$|\,d\,|$の約数に限ることを証明せよ．
(2)次の方程式
\[ 2x^4-2x-1=0 \]
の実数解はすべて無理数であることを証明せよ．