「公比」について
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国立 奈良教育大学 2011年 第1問以下の設問に答えよ．
(1)初項$a$，公比$r$の無限等比級数は$|\,r\,|<1$のとき収束し，その和が$\displaystyle \frac{a}{1-r}$となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点$(1,\ 1)$から$x$軸の負の向きに1だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3}$だけ進み，次に$x$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^2}$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^3}$だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．
(1)初項$a$，公比$r$の無限等比級数は$|\,r\,|<1$のとき収束し，その和が$\displaystyle \frac{a}{1-r}$となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点$(1,\ 1)$から$x$軸の負の向きに1だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3}$だけ進み，次に$x$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^2}$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^3}$だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．
国立 電気通信大学 2011年 第3問初項が$a$で公比が$r$の等比数列を$\{a_n\}$とし，初項が$b$で公比が$s$の等比数列を$\{b_n\}$とする．数列$\{x_n\}$を
\[ x_n=a_n+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義するとき，以下の問いに答えよ．
(1)$x_1x_3-x_2^2$と$x_2x_4-x_3^2$をそれぞれ$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し，因数分解せよ．
(2)$x_1x_4-x_2x_3$を$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し，因数分解せよ．
以下では，$r<s$とし，数列$\{x_n\}$のはじめの$4$つの項が
\[ x_1=4, x_2=7, x_3=11, x_4=13 \]
となる場合を考える．
\mon[(3)] $a,\ b,\ r,\ s$の値を求め，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．
\mon[(4)] 数列$\{x_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
\mon[(5)] 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{S_n}$を求めよ．
\[ x_n=a_n+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義するとき，以下の問いに答えよ．
(1)$x_1x_3-x_2^2$と$x_2x_4-x_3^2$をそれぞれ$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し，因数分解せよ．
(2)$x_1x_4-x_2x_3$を$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し，因数分解せよ．
以下では，$r<s$とし，数列$\{x_n\}$のはじめの$4$つの項が
\[ x_1=4, x_2=7, x_3=11, x_4=13 \]
となる場合を考える．
\mon[(3)] $a,\ b,\ r,\ s$の値を求め，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．
\mon[(4)] 数列$\{x_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
\mon[(5)] 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{S_n}$を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2011年 第1問自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．
(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．
(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．
(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．
(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．
(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]
(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．
(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．
(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．
(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．
(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．
(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]
(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．
私立 立教大学 2011年 第2問$a,\ b,\ c$を実数とする．$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$は$3$個の相異なる実数解を持ち，それらの解をある順番で並べると等比数列となる．そこで等比数列の公比を$r$とおき，方程式の解を$p,\ pr,\ pr^2$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$p,\ r$の式として表せ．
(2)$c$を$a,\ b$の式として表せ．
(3)$p,\ pr,\ pr^2$を適当に並びかえると等差数列になるとする．このとき$r$の値を求めよ．
(4)$(3)$の場合で，さらに$b=2a$であるとき$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$p,\ r$の式として表せ．
(2)$c$を$a,\ b$の式として表せ．
(3)$p,\ pr,\ pr^2$を適当に並びかえると等差数列になるとする．このとき$r$の値を求めよ．
(4)$(3)$の場合で，さらに$b=2a$であるとき$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
公立 県立広島大学 2011年 第2問初項$a$，公比$r$の等比数列$\{a_n\}$において
\[ a_1<a_2,\quad a_1+a_2+a_3=42,\quad a_1a_2a_3=512 \]
とする．ただし，$a,\ r$は実数である．
(1)初項$a$と公比$r$を求めよ．
(2)$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，$S_n>10^5$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
\[ a_1<a_2,\quad a_1+a_2+a_3=42,\quad a_1a_2a_3=512 \]
とする．ただし，$a,\ r$は実数である．
(1)初項$a$と公比$r$を求めよ．
(2)$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，$S_n>10^5$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
国立 岩手大学 2010年 第3問数列$\{a_n\}$は等比数列で，その公比は0以上の実数であるとする．自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k, U_n=\sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
とするとき，$n$が奇数ならば，$S_n \cdot T_n=U_n$が成り立つことを示せ．
\[ S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k, U_n=\sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
とするとき，$n$が奇数ならば，$S_n \cdot T_n=U_n$が成り立つことを示せ．
国立 岩手大学 2010年 第3問数列$\{a_n\}$は等比数列で，その公比は$0$以上の実数であるとする．自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k, U_n=\sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
とするとき，$n$が奇数ならば，$S_n \cdot T_n=U_n$が成り立つことを示せ．
\[ S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k, U_n=\sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
とするとき，$n$が奇数ならば，$S_n \cdot T_n=U_n$が成り立つことを示せ．
国立 島根大学 2010年 第1問数列$\{a_n\}$を初項3，公比3の等比数列とし，数列$\{b_n\}$を初項11，公差8の等差数列とする．$\{a_n\}$と$\{b_n\}$に共通に含まれる項を小さいものから順に並べて得られる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2010年 第1問自然数$n$に対して，$\{a_n\}$は初項$a$，一般項$a_n$の数列であり，$\{b_n\}$ \\
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
\img{3_2148_2010_1}{50}
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
\img{3_2148_2010_1}{50}
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．
私立 早稲田大学 2010年 第1問次の各問に答えよ．
(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．