数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{ka_n}{1+3a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．ただし，$k$は正の定数とする．このとき，次の空所を埋めよ．

(1)$k=1$のとき，$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[ア]$，公差$[イ]$の等差数列となり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ウ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(2)$k \neq 1$のとき，$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}-\frac{3}{k-1}$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列となり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$\displaystyle a_n=\frac{k-1}{3+[カ]} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
特に，$k=[キ]$のとき，すべての自然数$n$について$a_n$は一定の値である．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2+2mx+m^2+2m-8=0$が異なる$2$つの負の解をもつとき，定数$m$の範囲を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は初項$1$，公比$r (0<r<1)$の等比数列である．数列$\{b_n\}$は$\displaystyle a_{n+1}=\frac{(a_n)^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{b_n}}$を満たす．数列$\{b_n\}$の一般項および無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和を求めよ．

$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$において，初めの$k$項の和を$T_1$，次の$k$項の和を$T_2$，その次の$k$項の和を$T_3$とし，以下同様に$T_4,\ T_5,\ \cdots$を定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\{a_n\}$が等比数列で$k=4$とする．$T_1=5$，$T_2=80$のとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．ただし，公比は実数とする．
(2)$\{a_n\}$が等差数列ならば$\{T_n\}$も等差数列であることを証明せよ．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \left[ \frac{1}{3}x+1 \right]=[2x-1]$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．ここで，$[x]$は$x$を超えない最大の整数である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と，$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+k \overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} (k>0)$を満たす点$\mathrm{M}$が存在する．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{M}$を通る直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\displaystyle \frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BN}}$のとき，$k$はいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が，漸化式
\[ a_{n+1}+\left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1}=3a_1a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしているとき，以下の問に答えよ．

(i) $\{a_n\}$の初項と公比を求めよ．
(ii) 無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$が収束するかどうか調べよ．収束する場合には，その和を求めよ．

$\{a_n\},\ \{b_n\}$を${a_n}^2-b_n \geqq 0 (n=1,\ 2,\ \cdots)$となる数列とし，$3$次関数
\[ y=x^3+3a_nx^2+3b_nx+1 \]
のグラフの接線の傾きが$0$となる接点の$x$座標のうち小さくない方を$c_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\{a_n\},\ \{b_n\}$が$a_n=n$，$b_n=n^2$で与えられる数列のとき，$\{c_n\}$を求めよ．
(2)$\{b_n\}$を初項も公差も$0$である等差数列とする．このとき，$c_n=b_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$となるための条件を求めよ．
(3)$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ公比が$r$，$r^2$の等比数列とする．このとき，$\{c_n\}$が等比数列になるための条件を求めよ．
(4)$\{a_n\}$が初項$100$，公差$-3$の等差数列で，$\{b_n\}$は初項$396$，公差$-12$の等差数列のとき，$\{c_n\}$を求めよ．

初項$1$，公比$2$の等比数列を，次のように第$n$群が$n$個の数から成るように分ける．
\[ (1),\ (2,\ 2^2),\ (2^3,\ 2^4,\ 2^5),\ (2^6,\ 2^7,\ 2^8,\ 2^9),\ \cdots \]
このとき以下の問いに答えよ．

(1)$2^{30}$は第何群に属するかを求めよ．
(2)第$n$群の最初の項を求めよ．
(3)第$n$群に属する項の総和を求めよ．

数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n(a_n+2) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義されるとき，次の空所を埋めよ．

(1)$b_n=a_n+1$とおくと，$b_1=[ア]$であり，$b_3=[イ]$である．また，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと，$b_{n+1}=[ウ]$となる．
(2)$c_n=\log_2b_n$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列である．
(3)$c_8=[カ]$だから，$a_8$は$[キ]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

以下の設問の$[　]$に答えなさい．

(1)$a$を$1$より大きな実数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)=a^x \log_e a$とする．このとき，曲線$y=f(x)$，直線$x=10$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いた式で表すと，$S=[$1$]$となる．
(2)$\displaystyle \sin x-\cos x=\frac{1}{2}$（ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$）のとき，$\sin^4 x-\cos^4 x$の値を求めると$[$2$]$となる．
(3)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公差$7$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$1$，公比$2$の等比数列とし，数列$\{c_n\}$の第$n$項を$c_n=a_nb_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いた式で表すと，$S_n=[$3$]$となる．また，$S_n=133132$となるのは$n=[$4$]$のときである．

次の問いに答えよ．

(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．

数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が
\[ S_n=2a_n+n^2-n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．

(1)$a_1$と$a_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}-2a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$b_n=a_{n+1}-a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は等比数列となることを示し，初項$b_1$と公比を求めよ．
(4)$a_n$を$n$の式で表せ．