初項$3$の数列$\{a_n\}$がある．$b_n=a_{n+1}-3a_n$とするとき，数列$\{b_n\}$は初項$6$，公比$3$の等比数列である．

(1)$\displaystyle c_n=\frac{a_n}{3^n}$とするとき，$c_{n+1}-c_n$を求めなさい．
(2)$a_n$を$n$の式で表しなさい．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とするとき，$S_n$を$n$の式で表しなさい．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$はそれぞれ公比を$r_a,\ r_b$とする等比数列である．$a_2-a_1=2+\sqrt{5}$であり，$a_3-a_1$は$a_2+a_1$の$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$倍である．$\{b_n\}$は，$\displaystyle b_n=\left( \frac{7-3 \sqrt{5}}{2} \right)^n a_n$とする．また，数列$\{c_n\}$は，$\displaystyle c_n=\frac{1}{r_a-r_b}(a_n-b_n)$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，

(1)$\displaystyle r_a=\frac{[$32$]+\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}$である．

(2)$c_4=[$35$][$36$]$である．

(3)$\displaystyle \frac{c_{16}}{c_8}=\kakkofour{$37$}{$38$}{$39$}{$40$}$である．

以下の問いに答えよ．

(1)$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{S_n\}$が初項$k$，公比$k$の等比数列であるとする．
\begin{itemize}
$k=3$の場合，$a_n \geqq 5000$を満たすのは$n \geqq [$1$]$のときである．
$a_n$が$100$の倍数となる$n$が存在するような$10$以下の自然数$k$は$[$2$]$つあり，このとき，$a_n$が$100$の倍数となるのは$n \geqq [$3$]$のときである．
\end{itemize}
(2)$\alpha$を$0 \leqq \alpha<2\pi$を満たす定数とする．実数$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲で変化するとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(\sin t,\ \sin (t+\alpha))$の軌跡を$\mathrm{T}$とする．
\begin{itemize}
$\mathrm{T}$が線分となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
$\mathrm{T}$が原点を中心とする円となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
\end{itemize}

数列$\{a_n\}$は，初項が$1$，公比$2$の等比数列であるとする．$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{101}a_n$としたとき，$S+1$は，$(30+b)$桁の整数になる．$b$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

初項$1$，公比$x(1-x)$の無限等比級数が収束するための$x$のとりうる範囲は，$a<x<b$となる．$5 |a+b|$の値を求めよ．

実数$a,\ b,\ c$がこの順で等比数列をなし，公比$r>1$であった．$a+b+c=21$，$abc=216$であるとき，$a,\ b,\ c$と$r$の値を求めると，$a=[サ]$，$b=[シ]$，$c=[ス]$，$r=[セ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$は実数とする．$3$次方程式$x^3+x^2+ax+b=0$が$1+i$を解にもつとき，$a,\ b$の値を求めよ．また他の解を求めよ．
(2)関数$y=\cos^2 \theta-4 \sin \theta+7$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)初項$\displaystyle \frac{2}{3}$，公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列$\{a_n\}$を考える．初項から第$n$項までの和$S_n$が$0.998$を超える最小の自然数$n$を求めよ．

以下の条件で定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=\frac{1}{10},\quad a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$\{b_n\}$は等比数列で，初項を$\displaystyle \frac{1}{{10}^p}$，公比を$\displaystyle \frac{1}{{10}^q}$とおくと，$p=[$13$]$，$q=[$14$]$となる．ゆえに，$\{b_n\}$の第$n$項を
\[ b_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおくと，$r=[$15$]$，$s=[$16$]$となる．さらに，$\{a_n\}$の第$n$項は，
\[ a_n=a_1+\sum_{k=[$17$]}^{n+[$18$][$19$]} b_k=\frac{\displaystyle\frac{1}{{10}^t} \left( 1-\frac{1}{{10}^{un}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^v}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
と求められる．ここで，$t=[$20$]$，$u=[$21$]$，$v=[$22$]$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{{10}^{2k} a_k a_{k+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．関係式
\[ \frac{b_k}{a_k a_{k+1}}=\frac{[$23$][$24$]}{a_k}+\frac{[$25$][$26$]}{a_{k+1}} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を用いて計算すると，
\[ S_n=\frac{{10}^w \left( 1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{xn}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{yn+z}}} \]
となる．ここで，$w=[$27$]$，$x=[$28$]$，$y=[$29$]$，$z=[$30$]$である．
(3)$({100}^{n+1}-1)S_n$は$[$31$]n+[$32$][$33$]$桁の整数になる．

次の問いに答えよ．

(1)$5 \sin \theta \cos \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$，$B=(\sin \theta)^4+(\cos \theta)^4$，$C=(\sin \theta)^8+(\cos \theta)^8$の値を求めよ．
(2)等比数列$\{a_n\}$の初項を$a_1=\alpha$，公比を$r$とする．自然数$n$に対して，$b_n=\log_3 a_n$とおく．数列$\{b_n\}$が初項$b_1=4$，公差$d=-2$の等差数列となるとき，$\alpha$と$r$の値を求めよ．また，$\displaystyle \beta=8 \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の値を求めよ．ただし，$\alpha>0$，$r>0$とする．
(3)定積分$\displaystyle I=\int_{-2}^3 (3 \sqrt{x^4-6x^2+9}-4x) \, dx$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$の初項を$a \neq 0$とし，初項から第$n$項までの和を
\[ S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
とする．また，数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=2a_n+\frac{3}{2}a-S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の初項$b$を$a$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{b_n\}$も等比数列になることを示せ．
(3)数列$\{b_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{a_n\}$も等比数列になることを示せ．