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福島県立医科大学 公立 福島県立医科大学 2014年 第1問
以下の各問いに答えよ.

(1)$a$は実数とする.極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ.
(2)$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき,$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ.
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき,$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(4)公正なサイコロを$2$回振り,$1$回目に出た目を$a$,$2$回目に出た目を$b$とする.また,公正なコインを$1$回投げ,表が出たら$c=1$,裏が出たら$c=-1$とする.$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$,$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める.次の問いに答えよ.

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ.
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ.
(iii) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ.
\mon[$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2011年 第4問
公正な硬貨$X$を$3$回投げる.「$1$回目に表が出る」という事象を$A$,「$3$回目に表が出る」という事象を$B$,「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象を$C$とする.このとき,
\[ P(A \cap C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]} \]
である.

次に,硬貨$X$が必ずしも公正でなく表の出る確率が$a (0<a<1)$,裏の出る確率が$1-a$であるとする.この場合の確率を$P_a$で表すとき,
\[ \frac{P_a(A)P_a(B)P_a(C)}{P_a(A \cap B \cap C)} \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である.

ただし,$[セ]$,$[タ]$はできるだけ小さな自然数で答えること.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2011年 第4問
公正な硬貨$X$を$3$回投げる.「$1$回目に表が出る」という事象を$A$,「$3$回目に表が出る」という事象を$B$,「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象を$C$とする.このとき,
\[ P(A \cap C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]} \]
である.

次に,硬貨$X$が必ずしも公正でなく表の出る確率が$a (0<a<1)$,裏の出る確率が$1-a$であるとする.この場合の確率を$P_a$で表すとき,
\[ \frac{P_a(A)P_a(B)P_a(C)}{P_a(A \cap B \cap C)} \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である.

ただし,$[セ]$,$[タ]$はできるだけ小さな自然数で答えること.
島根大学 国立 島根大学 2010年 第1問
公正に作られた$n$枚のコインを同時に投げるとき,表が出た枚数を$k$で表す.この$n,\ k$を用いて,放物線$C$と直線$\ell$を
\begin{eqnarray}
& & C:y=(x-k)^2+n-k, \nonumber \\
& & \ell:y=x+n-k \nonumber
\end{eqnarray}
で定めるとき,次の問いに答えよ.

(1)$C$と$\ell$が異なる2つの交点をもつ確率を求めよ.
(2)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$k$を用いて表せ.
(3)$n=3$のとき,$\displaystyle (6S)^{\frac{2}{3}}$の期待値を求めよ.
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