「公差」について
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私立 早稲田大学 2013年 第2問次のような群にわかれた数列がある．
\[ (1),\ (2,\ 4),\ (5,\ 7,\ 9),\ (10,\ 12,\ 14,\ 16),\ \cdots \]
（第$2$群の初項は第$1$群の末項に$1$を加えたものとし，第$3$群の初項は第$2$群の末項に$1$を加えたものとする．以下同様に第$n$群の初項は第$n-1$群の末項に$1$を加えたものとする．第$n$群は公差$2$，項数$n$の等差数列である．）
このとき次の問に答えよ．
(1)第$n$群に含まれる項の総和は$[カ]n^3+[キ]n^2+[ク]n$である．
(2)第$1$群から第$n$群に含まれるすべての項の総和は
\[ \frac{1}{[ケ]} \left( [コ]n^4+[サ]n^3+[シ]n^2+[ス]n \right) \]
である．
\[ (1),\ (2,\ 4),\ (5,\ 7,\ 9),\ (10,\ 12,\ 14,\ 16),\ \cdots \]
（第$2$群の初項は第$1$群の末項に$1$を加えたものとし，第$3$群の初項は第$2$群の末項に$1$を加えたものとする．以下同様に第$n$群の初項は第$n-1$群の末項に$1$を加えたものとする．第$n$群は公差$2$，項数$n$の等差数列である．）
このとき次の問に答えよ．
(1)第$n$群に含まれる項の総和は$[カ]n^3+[キ]n^2+[ク]n$である．
(2)第$1$群から第$n$群に含まれるすべての項の総和は
\[ \frac{1}{[ケ]} \left( [コ]n^4+[サ]n^3+[シ]n^2+[ス]n \right) \]
である．
私立 早稲田大学 2013年 第6問数列
\[ \{a_n\}:\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6},\ \cdots \]
がある．この数列$\{a_n\}$を
\[ \frac{1}{2} \;\biggl|\; \frac{1}{3},\ \frac{2}{3} \;\biggl|\; \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4} \;\biggl|\; \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5} \;\biggl|\; \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6} \;\biggl|\; \cdots \]
のように群に分けると，第$k$群は，初項$\displaystyle \frac{1}{k+1}$，末項$\displaystyle \frac{k}{k+1}$，公差$\displaystyle \frac{1}{k+1}$の等差数列である．
(1)数列$\{a_n\}$の各項を既約分数で表したとき，分子が$1$となる分数が$4$つ連続して初めて現れるのは，$\displaystyle \frac{1}{[ノ]}$からの$4$つの項である．
(2)数列$\{a_n\}$の第$1$群の初項から，第$m$群の末項までの和は，
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{m}{m+1}=\frac{[ハ]}{[ヒ]}m^{\mkakko{フ}}+\frac{[ヘ]}{[ホ]}m \]
である．
\[ \{a_n\}:\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6},\ \cdots \]
がある．この数列$\{a_n\}$を
\[ \frac{1}{2} \;\biggl|\; \frac{1}{3},\ \frac{2}{3} \;\biggl|\; \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4} \;\biggl|\; \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5} \;\biggl|\; \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6} \;\biggl|\; \cdots \]
のように群に分けると，第$k$群は，初項$\displaystyle \frac{1}{k+1}$，末項$\displaystyle \frac{k}{k+1}$，公差$\displaystyle \frac{1}{k+1}$の等差数列である．
(1)数列$\{a_n\}$の各項を既約分数で表したとき，分子が$1$となる分数が$4$つ連続して初めて現れるのは，$\displaystyle \frac{1}{[ノ]}$からの$4$つの項である．
(2)数列$\{a_n\}$の第$1$群の初項から，第$m$群の末項までの和は，
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{m}{m+1}=\frac{[ハ]}{[ヒ]}m^{\mkakko{フ}}+\frac{[ヘ]}{[ホ]}m \]
である．
私立 早稲田大学 2013年 第1問次の問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公比$2$の等比数列，数列$\{b_n\}$を初項$2$，公差$2$の等差数列とし，$c_n=a_nb_n$とする．
(i) $a_{10}=[ア]$である．
(ii) $b_n=a_{10}$のとき，$n=[イ]$である．
(iii) 数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，
\[ S_n=4 \left\{ 2^n([ウ])+1 \right\} \]
である．
(2)$x$についての$3$次方程式
\[ x^3+(a-3)x^2+(-2a+b+3)x+a-b-15=0 \]
の$1$つの解が$3+\sqrt{3}i$であるとき，実数の定数$a,\ b$の値は$a=[エ]$，$b=[オ]$で，$3+\sqrt{3}i$以外の解は，$[カ]$と$[キ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公比$2$の等比数列，数列$\{b_n\}$を初項$2$，公差$2$の等差数列とし，$c_n=a_nb_n$とする．
(i) $a_{10}=[ア]$である．
(ii) $b_n=a_{10}$のとき，$n=[イ]$である．
(iii) 数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，
\[ S_n=4 \left\{ 2^n([ウ])+1 \right\} \]
である．
(2)$x$についての$3$次方程式
\[ x^3+(a-3)x^2+(-2a+b+3)x+a-b-15=0 \]
の$1$つの解が$3+\sqrt{3}i$であるとき，実数の定数$a,\ b$の値は$a=[エ]$，$b=[オ]$で，$3+\sqrt{3}i$以外の解は，$[カ]$と$[キ]$である．
私立 早稲田大学 2013年 第2問次のような群にわかれた数列がある．
\[ (1),\ (2,\ 4),\ (5,\ 7,\ 9),\ (10,\ 12,\ 14,\ 16),\ \cdots \]
（第$2$群の初項は第$1$群の末項に$1$を加えたものとし，第$3$群の初項は第$2$群の末項に$1$を加えたものとする．以下同様に第$n$群の初項は第$n-1$群の末項に$1$を加えたものとする．第$n$群は公差$2$，項数$n$の等差数列である．）
このとき次の問に答えよ．
(1)第$n$群に含まれる項の総和は$[カ]n^3+[キ]n^2+[ク]n$である．
(2)第$1$群から第$n$群に含まれるすべての項の総和は
\[ \frac{1}{[ケ]} \left( [コ]n^4+[サ]n^3+[シ]n^2+[ス]n \right) \]
である．
\[ (1),\ (2,\ 4),\ (5,\ 7,\ 9),\ (10,\ 12,\ 14,\ 16),\ \cdots \]
（第$2$群の初項は第$1$群の末項に$1$を加えたものとし，第$3$群の初項は第$2$群の末項に$1$を加えたものとする．以下同様に第$n$群の初項は第$n-1$群の末項に$1$を加えたものとする．第$n$群は公差$2$，項数$n$の等差数列である．）
このとき次の問に答えよ．
(1)第$n$群に含まれる項の総和は$[カ]n^3+[キ]n^2+[ク]n$である．
(2)第$1$群から第$n$群に含まれるすべての項の総和は
\[ \frac{1}{[ケ]} \left( [コ]n^4+[サ]n^3+[シ]n^2+[ス]n \right) \]
である．
私立 立教大学 2013年 第1問次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$10$項までの和が$-8$，初項から第$21$項までの和が$14$である．この数列の初項$a_1$は$[ア]$で，公差は$[イ]$である．
(2)$2 \log_3 4+\log_9 5-\log_3 8=\log_3 x$の解は$x=[ウ]$である．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[エ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$となる自然数の組$(x,\ y)$で$x \geqq y$を満たすものをすべてあげると$(x,\ y)=[オ]$である．
(5)正の数$k$と角$\theta$に対して，$\sin \theta,\ \cos \theta$が$2$次方程式$5x^2-kx+2=0$の解となるような$k$の値は$[カ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{\sqrt{2}}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{1+\sqrt{3}}$であるとき，$\cos C$の値は$[キ]$である．
(7)整式$P(x)$を$2x^2+9x-5$で割ると余りが$3x+5$であり，$x-2$で割ると余りが$-3$であるとき，$P(x)$を$x^2+3x-10$で割ると，余りは$[ク]$である．
(8)座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{D}(x,\ y,\ z)$がある．これら$4$点が同一平面上にあり，かつこれらを頂点とする四角形がひし形であるのは，$(x,\ y,\ z)=[ケ]$のときである．
(1)等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$10$項までの和が$-8$，初項から第$21$項までの和が$14$である．この数列の初項$a_1$は$[ア]$で，公差は$[イ]$である．
(2)$2 \log_3 4+\log_9 5-\log_3 8=\log_3 x$の解は$x=[ウ]$である．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[エ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$となる自然数の組$(x,\ y)$で$x \geqq y$を満たすものをすべてあげると$(x,\ y)=[オ]$である．
(5)正の数$k$と角$\theta$に対して，$\sin \theta,\ \cos \theta$が$2$次方程式$5x^2-kx+2=0$の解となるような$k$の値は$[カ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{\sqrt{2}}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{1+\sqrt{3}}$であるとき，$\cos C$の値は$[キ]$である．
(7)整式$P(x)$を$2x^2+9x-5$で割ると余りが$3x+5$であり，$x-2$で割ると余りが$-3$であるとき，$P(x)$を$x^2+3x-10$で割ると，余りは$[ク]$である．
(8)座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{D}(x,\ y,\ z)$がある．これら$4$点が同一平面上にあり，かつこれらを頂点とする四角形がひし形であるのは，$(x,\ y,\ z)=[ケ]$のときである．
公立 九州歯科大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)頂点間の距離が$24$であり，焦点が$(20,\ 0)$と$(-20,\ 0)$である双曲線の方程式を求めよ．
(2)初項を$a_1=4$とする数列$\{a_n\}$と初項を$b_1=1$とする数列$\{b_n\}$に対して，$c_n=\sqrt{a_nb_n}$，$\displaystyle d_n=\sqrt{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}$とおく．ただし，$a_n>0$，$b_n>0$とする．数列$\{c_n\}$が公差$2$の等差数列となり，数列$\{d_n\}$が公比$3$の等比数列となるとき，$a_5$と$b_5$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)=Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F$が
\[ f(-x)=-f(x),\quad \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x^3}=6,\quad \int_0^1 f(x) \, dx=\frac{1}{2} \]
をみたすとき，定数$A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$の値を求めよ．
(1)頂点間の距離が$24$であり，焦点が$(20,\ 0)$と$(-20,\ 0)$である双曲線の方程式を求めよ．
(2)初項を$a_1=4$とする数列$\{a_n\}$と初項を$b_1=1$とする数列$\{b_n\}$に対して，$c_n=\sqrt{a_nb_n}$，$\displaystyle d_n=\sqrt{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}$とおく．ただし，$a_n>0$，$b_n>0$とする．数列$\{c_n\}$が公差$2$の等差数列となり，数列$\{d_n\}$が公比$3$の等比数列となるとき，$a_5$と$b_5$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)=Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F$が
\[ f(-x)=-f(x),\quad \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x^3}=6,\quad \int_0^1 f(x) \, dx=\frac{1}{2} \]
をみたすとき，定数$A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$の値を求めよ．
公立 秋田県立大学 2013年 第4問初項$6$，公差$3$の等差数列を$\{a_n\}$とし，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$を一般項が次の式で定められる数列とする．
$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle c_n=\frac{1}{b_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n c_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき，以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ．
(1)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n$は実数$s,\ t$を用いて$\displaystyle c_n=\frac{s}{n}+\frac{t}{n+3}$と表せる．$s,\ t$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} d_n$を求めよ．
$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle c_n=\frac{1}{b_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n c_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき，以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ．
(1)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n$は実数$s,\ t$を用いて$\displaystyle c_n=\frac{s}{n}+\frac{t}{n+3}$と表せる．$s,\ t$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} d_n$を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2012年 第1問以下の問に答えよ．
(1)以下の条件 (ア)，(イ) を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．
\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる．
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数，余りが$3$となる．
(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ．
(1)以下の条件 (ア)，(イ) を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．
\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる．
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数，余りが$3$となる．
(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第3問初項が$a_1=-35$である数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とする．すなわち，
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．$\{b_n\}$が等差数列で，その初項は$b_1=-19$，公差は4であるとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$b_n$を$n$で表せ．
(2)自然数$n$に対し，$a_n$を$n$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第24項までの和を求めよ．
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．$\{b_n\}$が等差数列で，その初項は$b_1=-19$，公差は4であるとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$b_n$を$n$で表せ．
(2)自然数$n$に対し，$a_n$を$n$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第24項までの和を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第3問初項が$a_1=-35$である数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とする．すなわち，
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．$\{b_n\}$が等差数列で，その初項は$b_1=-19$，公差は4であるとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$b_n$を$n$で表せ．
(2)自然数$n$に対し，$a_n$を$n$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第24項までの和を求めよ．
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．$\{b_n\}$が等差数列で，その初項は$b_1=-19$，公差は4であるとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$b_n$を$n$で表せ．
(2)自然数$n$に対し，$a_n$を$n$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第24項までの和を求めよ．