次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)整式$P(x)$は$(x-2)(x+3)$で割ると余りは$5x-2$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$-x+10$である．このとき，$P(x)$を$(x+3)(x-3)$で割ると余りは$([ア])x+([イ])$である．
(2)初項が$a_1=-24$で公差が$12$の等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[ウ]$である．また，数列$\{b_n\}$の初項$b_1$から第$n$項までの和$T_n$が$T_n=5^n-1$のとき，一般項は$b_n=[エ]$である．このとき，初項が$c_1=-1$で漸化式
\[ c_{n+1}=c_n+S_n-b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まる数列$\{c_n\}$の一般項は$c_n=[オ]$である．
(3)曲線$C:y=|x^2-4x-5|$と直線$\ell:y=k$の共有点の個数は$3$個である．このとき，実数$k$の値は$k=[カ]$であり，直線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形の面積は$[キ]$である．
(4)$1$個のサイコロを$3$回投げる．出た目の最大値が$5$となる確率は$[ク]$である．出た目の最大値が$5$，かつ最小値が$1$となる確率は$[ケ]$である．$3$つの出た目の積が$2$の倍数であり，かつ$3$の倍数でない確率は$[コ]$である．

以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle (8^{\frac{1}{4}}-3^{-\frac{1}{4}})(8^{\frac{1}{4}}+3^{-\frac{1}{4}})(8^{\frac{1}{2}}+3^{-\frac{1}{2}})=\frac{[ナ][ニ]}{3}$
(2)$\log_2 72-3 \log_4 9+2 \log_4 6=[ヌ][ネ]$
(3)赤，白，青のカードが$4$枚ずつあり，各色ごとに$1$から$4$までの番号が$1$つずつ書かれている．$12$枚のカードをよくまぜてから同時に$3$枚取り出す．$3$枚の番号がすべて異なる確率は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{55}$．
(4)$\mathrm{O}$を原点とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の位置ベクトルが$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(t-6) \overrightarrow{a}+(t+1) \overrightarrow{b}$であるとする（$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく，たがいに平行ではないものとする．$t$は実数とする．）．$t=[ヒ][フ]$のとき$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は一直線上にある．
(5)初項$-100$，公差$7$の等差数列において，第$[ヘ][ホ]$項で初めて$500$以上になる．

次の問いに答えなさい．

(1)「自然数$m$を$4$で割ったときの余りが$r$であるならば，$m(m+1)$を$4$で割ったときの余りは$r(3-r)$と等しい」ことを$r=0,\ 1,\ 2,\ 3$のそれぞれの場合について$[う]$で示しなさい．ただし，自然数$m$が整数$q,\ r$を用いて
\[ m=4q+r \quad (0 \leqq r<4) \]
と表されるとき，$r$を，$m$を$4$で割ったときの余りという．
(2)$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は，初項$a_1$が$2$，公差が$2$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は次の条件
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}-b_n=\frac{a_{n+1}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められている．

(i) 一般項$a_n,\ b_n$は，$n$を用いて表すとそれぞれ$a_n=[$\mathrm{I]$}$，$b_n=[$\mathrm{J]$}$である．
(ii) $2$つの集合$A,\ B$を
\[ A=\{a_n \;|\; n \text{は}39 \text{以下の自然数} \},\quad B=\{b_n \;|\; n \text{は}12 \text{以下の自然数} \} \]
とする．このとき，$A$と$B$の共通部分$A \cap B$の要素の個数を$s$とすると，$s=[$\mathrm{K]$}$である．
(iii) $t$を自然数の定数とする．$2$つの集合$C,\ D$を
\[ C=\{a_n \;|\; n \text{は} 100 \text{以下の自然数}\},\quad D=\{b_n \;|\; n \text{は} t \text{以下の自然数}\} \]
とする．このとき，$C$と$D$の和集合$C \cup D$の要素の個数が$111$であるならば，$t$の値は$t=[$\mathrm{L]$}$である．

数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{ka_n}{1+3a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．ただし，$k$は正の定数とする．このとき，次の空所を埋めよ．

(1)$k=1$のとき，$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[ア]$，公差$[イ]$の等差数列となり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ウ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(2)$k \neq 1$のとき，$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}-\frac{3}{k-1}$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列となり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$\displaystyle a_n=\frac{k-1}{3+[カ]} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
特に，$k=[キ]$のとき，すべての自然数$n$について$a_n$は一定の値である．

以下の$(1)$～$(4)$の$[$1$]$～$[$4$]$に適切な値を答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$A=e^2$とするとき，
\[ 8 \left( 1+\cos^3 \frac{\pi}{18} \right) \log_A e-\frac{3}{2} \left( 1+\cos \frac{\pi}{18} \right) \log_e A=[$1$] \]
である．
(2)$b$を正の定数，$x$を正の実数とする．方程式$\log_e x=bx$が異なる$2$つの実数解をもつのは$0<b<[$2$]$のときである．
(3)数列$\{c_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，初項$1$，公差$2$の等差数列とする．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$に対して$T_n=\log_e S_n$，$U_n=e^{T_n}$と定義する．数列$\{U_n\}$の初項から第$24$項までの和の値は$[$3$]$となる．

(4)定積分$\displaystyle \int_0^D \frac{2e^x}{2e^x+3} \, dx$の値は$[$4$]$である．ただし，$D=\log_e 3$とする．

$\{a_n\}$を初項$a_1=A$，公差$d$の等差数列とする．自然数$j$と$k$に対して
\[ S(j,\ k)=\sum_{i=j}^k a_i=a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots +a_k \]
とおく．$S(1,\ 10)=800$，$S(11,\ 20)=200$が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$j<k$とする．

(1)定数$A$と$d$の値を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{S(n+1,\ n^2)}{n(n-1)}=\alpha n^2+\beta n+\gamma$をみたす定数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の値を求めよ．

(3)$S(n+1,\ n^2)<0$となる$n$の最小値$N$の値を求めよ．

(4)$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n a_{5i}$とおくとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(T_n)^2}{S(n+1,\ n^2)}$の値を求めよ．

$p$を素数とする．初項，公差がともに$5p$の等差数列を$\{a_n\}$とする．数列$\{b_n\}$は公差が$p$の等差数列で$\displaystyle \sum_{n=1}^p a_n=a_1+a_p+5 \sum_{n=1}^p b_n$を満たす．

(1)$b_1$を求めよ．
(2)$p=2$のとき，$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$n$をすべて求めよ．
(3)$p \geqq 3$とする．$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$p$と$n$の組$(p,\ n)$をすべて求めよ．

$\{a_n\},\ \{b_n\}$を${a_n}^2-b_n \geqq 0 (n=1,\ 2,\ \cdots)$となる数列とし，$3$次関数
\[ y=x^3+3a_nx^2+3b_nx+1 \]
のグラフの接線の傾きが$0$となる接点の$x$座標のうち小さくない方を$c_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\{a_n\},\ \{b_n\}$が$a_n=n$，$b_n=n^2$で与えられる数列のとき，$\{c_n\}$を求めよ．
(2)$\{b_n\}$を初項も公差も$0$である等差数列とする．このとき，$c_n=b_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$となるための条件を求めよ．
(3)$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ公比が$r$，$r^2$の等比数列とする．このとき，$\{c_n\}$が等比数列になるための条件を求めよ．
(4)$\{a_n\}$が初項$100$，公差$-3$の等差数列で，$\{b_n\}$は初項$396$，公差$-12$の等差数列のとき，$\{c_n\}$を求めよ．

次の空欄にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．

$\{a_n\}$を，初項$1$，公差$d$の等差数列とし，
\[ P_n=r^{a_1} \cdot r^{a_2} \cdot \cdots \cdot r^{a_n} \]
と定義する．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数である．$P_n$が$P_3=P_9$を満たしているならば，公差$d=[ア]$である．このとき，$P_n$は，$n=[イ]$のとき，最大値$[ウ]$をとる．また，$P_n<1$となる最小の$n$は，$n=[エ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)折れ線$L:y=4 |x|-5 |x-2|+4 |x-3|$は
$x<0$のとき，$y=[アイ]x+[ウ]$
$0 \leqq x<2$のとき，$y=[エ]x+[オ]$
$2 \leqq x<3$のとき，$y=[カキ]x+[クケ]$
$3 \leqq x$のとき，$y=3x-2$
と表される．$L$と直線$y=2x+k$（$k$は定数）の共有点が$4$個となるような$k$の値の範囲は，$[コ]<k<[サ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$a_1=3$，公差$4$の等差数列とすると，$a_{50}=[シスセ]$である．数列$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$b_1=5$で，$b_{50}=299$をみたす等差数列とすると，$\{b_n\}$の公差は$[ソ]$である．
集合$A,\ B$を
\[ A=\{a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{50} \},\quad B=\{b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{50} \} \]
と定める．共通部分$A \cap B$の要素のうち，最小のものは$[タチ]$であり，$A \cap B$の要素の個数は$[ツテ]$である．