以下の各問に答えよ．

(1)$\mathrm{L}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{N}$の$6$文字全部を横一列に並べるとき，$\mathrm{L}$が$\mathrm{D}$の左側にある並べ方の総数を求めよ．ただし，$\mathrm{L}$と$\mathrm{D}$の間に他の文字が入る場合も含む．
(2)$1$つのサイコロを$3$回続けて投げる．出た目の数を順に$a,\ b,\ c$とし，
\[ X=(a-1)(b-2)(c-3) \]
とする．以下の問に答えよ．

(i) $X=0$となる確率を求めよ．
(ii) $X>0$となる確率を求めよ．
(iii) $X>3$となる確率を求めよ．

次の$(1)$から$(6)$の$[　]$に適する答えを書きなさい．

(1)$\overrightarrow{a}=(4,\ 3)$に垂直な単位ベクトルは$2$つあり，$[　]$と$[　]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から$4$つの数字を選んで$4$桁の整数をつくるとき，その個数は全部で$[　]$個である．ただし，各数字は$1$回しか使えないこととする．
(3)$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$を因数分解すると$[　]$となる．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\angle \mathrm{BAC}=50^\circ$，$\angle \mathrm{ICA}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BIC}$は$[　]^\circ$となる．
(5)$1^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\ \cdots$の第$n$項までの和は$[　]$である．
(6)$\sin 75^\circ$，$\sin 22.5^\circ$を計算すると，それぞれ$[　]$，$[　]$となる．

箱の中に，赤，青，黄，白，黒の$5$種類の色のボールがそれぞれ$2$個ずつ入っており，全部で$10$個ある．$10$個のボールには異なる番号が付けられている．以下の問に答えなさい．ただし，すべて整数値で解答しなさい．

(1)同時に$3$個取り出す場合の数を求めなさい．
(2)同時に$3$個取り出すとき，赤のボールが含まれる場合の数を求めなさい．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$\sqrt{6+4 \sqrt{2}}$の小数部分を$a$とすると，$a=[ア]$，$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}=[イ]$となる．
(2)$2$次関数$y=3x^2-6x+a+6 (0 \leqq x \leqq 3)$の最小値が$5$となるような定数$a$の値は$[ウ]$である．また，このとき最大値は$[エ]$である．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$6$個の数字から異なる$3$個の数字を取り出して並べ，$3$桁の整数を作るとき，整数は全部で$[オ]$個，偶数は全部で$[カ]$個となる．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=3$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とするとき，$\cos \theta$は$[キ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ク]$である．
(5)赤いカード$4$枚，青いカード$3$枚，合計$7$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚とも赤いカードとなる確率は$[ケ]$である．また，赤いカードを$1$点，青いカードを$5$点とするとき，取り出した$2$枚のカードの合計点の期待値は$[コ]$である．

1個買うごとに景品を1個もらえる商品がある．景品は全部で$n$種類あり，それぞれ1から$n$までの番号がつけてある．また，1から$n$までの数字が1つずつ記入された$n$枚のカードがある．$n$枚のカードは外から数字が見えない箱の中に入れてあり，購入した商品1個ごとに箱の中から1枚引いて数字を確認して景品と交換する．引いたカードは，そのつど箱に戻すものとする．もらえる景品の番号は，引いたカードの数字と同じ番号のものとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)この商品を$m$個購入したとき，番号1の景品が少なくとも1個もらえる確率を求めよ．ただし，$m>n$とする．
(2)この商品を$n$個購入したとき，全種類の景品がそろわない確率を求めよ．
(3)この商品を$n+1$個購入したとき，全種類の景品がもらえる確率を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$において
\[ y= \sin x + 2 \cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \]
の最大値は$\sqrt{[ア]}$であり，最小値は$-\sqrt{[イ]}$である．
(2)$xy = 4x -y+28$を満たす正の整数$x,\ y$の組$(x,\ y)$は全部で[ウ]組ある．
(3)放物線$y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2$は，$x$軸方向に[エ]，$y$軸方向に$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ]}$だけ平行移動すると，直線$y=-x$と直線$y=3x$の両方に接する．
(4)実数$x,\ y$が$x^2+xy+2y^2=1$を満たすとき，$y^2$がとり得る値の範囲は
\[ [キ] \leqq y^2 \leqq \frac{[ク]}{[ケ]} \]
である．

次の各問に答えよ．

(1)関数$f(x)$を
\[ f(x) = \log_4 32x - \log_8 64x + \log_{16} 8x\]
とする．$5 \leqq f(x) \leqq 10$となるためにの必要十分条件は
\[ 2^a \leqq x \leqq 2^b,\quad a=[ア],\ b=[イ] \]
である．
(2)関数$g(x)$を
\[ g(x) = 4\cos^2 \frac{x}{2} +2\sin^2\frac{x}{2} +\sqrt{3}\sin x \]
とする．$0 \leqq x < 2\pi$とすると，$\displaystyle x=\frac{[ウ]}{[エ]}\pi$のとき$g(x)$は最大値をとる．
(3)$m$と$n$を$m \geqq n$を満たす正の整数とする．3辺の長さがそれぞれ$m+1,\ m,\ n$であり，それらの和が100以下であるような直角三角形は，全部で[オ]個ある．また，そのうち面積が最も大きいものの斜辺の長さは[カ]である．

$0$から$6$までの$7$個の数字の中から異なる$3$個の数字を用いて，$3$桁の整数をつくる．

(1)$5$の倍数は全部で何個できるか．
(2)一の位，十の位，百の位にある$3$つの数の積が$5$の倍数となるものは全部で何個できるか．なお，$0$は$5$の倍数である．
(3)一の位，十の位，百の位にある$3$つの数の和が$5$の倍数となるものは全部で何個できるか．

$n$を$2$以上の整数とする．

(1)平面上の平行な$2$直線上に，相異なる点がそれぞれ$n$個ずつある．これらの$2n$個の点から$3$点を選ぶ．

(i) $n=5$のとき，この選び方は全部で$[アイウ]$通りあり，選んだ$3$点が$1$直線上にあるような選び方は$[エオ]$通りある．
(ii) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \left( [カ]-[キ] \right)$通りある．
ただし，$[カ]$，$[キ]$については，以下の$①$～$\marukyu$からそれぞれ$1$つを選べ．ここで，同じものを何回選んでもよい．
\[ \begin{array}{lllllllll}
① n & & ② 2n & & ③ 3n & & ④ n^2 & & ⑤ 2n^2 \\
⑥ 3n^2 & & ④chi n^3 & & \maruhachi 2n^3 & & \marukyu 3n^3 & &
\end{array} \]

(2)$\mathrm{O}$を中心とする円の円周を等分する$2n$個の点がある．これらの$2n$個の点と点$\mathrm{O}$から$3$点を選ぶ．

(i) $n=3$のとき，選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$[クケ]$通りある．

(ii) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \frac{n \left( [コ] n^{[サ]}-[シ] \right)}{[ス]}$通りある．
(iii) $n=12$のとき，選んだ$3$点が正三角形をつくるような選び方は$[セソ]$通りある．

次の空欄$[ア]$から$[ク]$に当てはまるものをそれぞれ答えよ．

放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{x^2}{8}+4$と楕円$\displaystyle C_2:x^2+\frac{y^2}{4}=2$を考える．

$C_1$上の点$(4a,\ 2a^2+4)$での接線の方程式は
\[ y= [ア]x-[イ] \]
である．$C_1$上の点$(4a,\ 2a^2+4)$における接線が同時に$C_2$の接線でもあるような$a$の値は全部で$4$個ある．それらを小さい方から順に$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$とすれば，$a_1=[ウ],\ a_2=[エ]$である．$C_2$の囲む図形の面積は$[オ]$である．点$(4a_1,\ 2{a_1}^2+4)$における$C_1$の接線を$y=f(x)$，点$(4a_4,\ 2{a_4}^2+4)$における$C_1$の接線を$y=g(x)$とする．このとき，$y=g(x)$と$C_2$の接点は$([カ],\ [キ])$である．$6$つの不等式

$\displaystyle y \geqq f(x),\quad y \geqq g(x),\quad x^2+\frac{y^2}{4} \geqq 2,\quad y \leqq \frac{x^2}{8}+4,$
$4a_1 \leqq x \leqq 4a_4,\quad [キ] \leqq y$

を同時にみたす領域の面積は$[ク]-3\pi$である．