一辺の長さが$1$である正三角形を右図のように一段ずつ積み重ねていき，$k$段積み重ねた図形を$F_k$とおく．図形$F_k$に表れる一辺の長さが$n$である上向きの正三角形$\triangle$の個数を$F_k(n)$とおく（下向きの正三角形$\bigtriangledown$は考えない）．例えば$F_2(1)=3$，$F_2(2)=1$である．このとき，次の問に答えなさい．
（図は省略）

(1)$F_3(1)=[ア]$，$F_3(2)=[イ]$，$F_3(3)=[ウ]$である．
(2)図形$F_k$に表れる一辺の長さが$1$である上向きの正三角形の個数は
\[ F_k(1)=\frac{[エ]([エ]+[オ])}{[カ]} \]
である．
(3)図形$F_k$に表れる一辺の長さが$n$である上向きの正三角形の個数は
\[ F_k(n)=\frac{([キ]-n+[ク])([ケ]-n+[コ])}{[サ]} \]
である．ただし，$[ク]<[コ]$となるように表しなさい．
(4)図形$F_k$に表れる上向きの正三角形の個数は全部で
\[ \frac{[シ] ([ス]+[セ])([ソ]+[タ])}{[チ]} \]
である．ただし$[セ]<[タ]$となるように表しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．

(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．

(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．

(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．

図のように，$1$から$9$までの異なる自然数の書かれたボタンを$3$行$3$列に並べる．
（図は省略）

(1)ボタンの並べ方は，全部で何通りあるか．
(2)縦一列の$3$つのボタンの数字の和が，すべて奇数となる並べ方は何通りあるか．
(3)縦一列の$3$つのボタンの数字の和が，すべて$3$の倍数となる並べ方は何通りあるか．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$[ア]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$[イ]$である．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$[ウ]$である．
(4)$n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$[エ]$である．
(5)$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$[オ]$である．
(6)$x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$[カ]$個である．
(7)$7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$[キ]$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$[ク]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．

(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．

(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．

(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．

$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$ケタの整数を$x$とする．ただし，同じ数字をくり返し使ってよい．整数$x$の千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．

(1)整数$x$は全部で$[ヌ]$個できる．
(2)$a=d$となる$x$は全部で$[ネ]$個できる．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，$3$個以上が同じ数字となる$x$は全部で$[ノ]$個できる．
(4)$a+b+c+d$が$12$以上となる$x$は全部で$[ハ]$個できる．
(5)$3$の倍数となる$x$は全部で$[ヒ]$個できる．また，$4$の倍数となる$x$は全部で$[フ]$個できる．

次の$[ア]$から$[ネ]$までの$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．

(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．

$xy$平面上において，原点を通り傾きが正の直線を$\ell$とする．直線$\ell$上の$y$座標が$1$の点に，$x$軸の正の方向から$x$軸に平行な光線を入射したとき，光線は直線$\ell$と$x$軸で次々と反射を繰り返し，$n$回目に反射した後，入射した経路を逆に進んだとする．このときの直線$\ell$と$x$軸とのなす角を$\theta$とする．直線$\ell$での最初の反射を$1$回目，反射した点を$\mathrm{P}_1$とし，その後光線が反射した点を$\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$とする．また，$0^\circ<\theta<{90}^\circ$とする．

(1)$\theta={30}^\circ$のときの$\mathrm{P}_n$の座標は$[$4$]$である．
(2)$\theta$のうち，その値が整数となるものは全部で$[$5$]$個ある．
(3)$\mathrm{P}_1$から$\mathrm{P}_n$までの光の経路の長さは$[$6$]$である．

$m$は正の整数とする．箱の中に，$1$と書かれたカードが$1$枚，$2$と書かれたカードが$2$枚，$3$と書かれたカードが$3$枚，$\cdots$，$2m$と書かれたカードが$2m$枚入っている．この箱の中から，$1$枚のカードを取り出し，書かれている数字を記録してからもとに戻す操作を$n$回繰り返す．

(1)箱の中にカードは全部で
\[ m([ア]m+[イ]) \text{枚} \]
入っている．
(2)$n=1$のとき，偶数のカードを取り出す確率は
\[ \frac{m+[ウ]}{[エ]m+[オ]} \]
である．
また，$n=2$のとき，記録した$2$個の数の和が偶数である確率は
\[ \frac{[カ]m^2+[キ]m+[ク]}{[ケ]m^2+[コ]m+[サ]} \]
である．
(3)記録した$n$個の数の和が偶数である確率を$p_n$とする．$p_n$を$m,\ n$を用いて表すと
\[ p_n=\frac{[シ]}{[ス]} \left( \frac{[セ]}{[ソ]m+[タ]} \right)^n+\frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．