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私立 大阪工業大学 2015年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．
(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．
私立 京都産業大学 2015年 第1問以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を記入せよ．
(1)$8x^3-27y^3$を因数分解すると$[ア]$である．
(2)関数$f(x)=x^2-4x+5 (-1 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[イ]$，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{3+i}{1-2i}$を$a+bi$の形にすると，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(4)不等式$\log_3 (1-x) \leqq \log_{\frac{1}{3}} (2x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[カ]$である．
(5)日曜日から土曜日までのうち$3$つの曜日を選び，毎週それらの曜日に出勤することとする．出勤する曜日の選び方は全部で$[キ]$通りある．また，$2$日は連続して出勤するが，$3$日は連続して出勤しないような曜日の選び方は$[ク]$通りある．
(1)$8x^3-27y^3$を因数分解すると$[ア]$である．
(2)関数$f(x)=x^2-4x+5 (-1 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[イ]$，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{3+i}{1-2i}$を$a+bi$の形にすると，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(4)不等式$\log_3 (1-x) \leqq \log_{\frac{1}{3}} (2x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[カ]$である．
(5)日曜日から土曜日までのうち$3$つの曜日を選び，毎週それらの曜日に出勤することとする．出勤する曜日の選び方は全部で$[キ]$通りある．また，$2$日は連続して出勤するが，$3$日は連続して出勤しないような曜日の選び方は$[ク]$通りある．
公立 首都大学東京 2015年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$人をいくつかの組に分ける．ただし，組同士は区別せず，どの組も$1$人以上を含んでいるとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{A}$が$3$人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい．
(3)$5$人を組に分ける方法は全部で何通りあるか求めなさい．
(1)$\mathrm{A}$が$3$人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい．
(3)$5$人を組に分ける方法は全部で何通りあるか求めなさい．
公立 高知工科大学 2015年 第3問実数$x,\ y$に関する連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^3+3y=4 \\
3x+y^3=4
\end{array} \right. \cdots\cdots (*) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$(x,\ y)$が連立方程式$(*)$の解であるとき，$x^3+y^3+3x+3y$の値および$x^3-y^3-3x+3y$の値を求めよ．
(2)連立方程式$(*)$の解$(x,\ y)$で$x=y$となるものをすべて求めよ．
(3)連立方程式$(*)$の解$(x,\ y)$で$x \neq y$となるものに対して
\[ X=x+y,\quad Y=xy \]
とおく．このとき$X,\ Y$の値を求めよ．
(4)連立方程式$(*)$の解$(x,\ y)$は全部でいくつあるか．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^3+3y=4 \\
3x+y^3=4
\end{array} \right. \cdots\cdots (*) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$(x,\ y)$が連立方程式$(*)$の解であるとき，$x^3+y^3+3x+3y$の値および$x^3-y^3-3x+3y$の値を求めよ．
(2)連立方程式$(*)$の解$(x,\ y)$で$x=y$となるものをすべて求めよ．
(3)連立方程式$(*)$の解$(x,\ y)$で$x \neq y$となるものに対して
\[ X=x+y,\quad Y=xy \]
とおく．このとき$X,\ Y$の値を求めよ．
(4)連立方程式$(*)$の解$(x,\ y)$は全部でいくつあるか．
公立 九州歯科大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$5 \tan \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\frac{\sin^4 \theta-\cos^4 \theta}{12 \sin \theta \cos \theta+6}$の値を求めよ．
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の$7$個の数字がある．これらの数字を並べて$7$桁の整数を作る．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．このとき，偶数が隣り合わないような$7$桁の整数は全部で$J$個できる．また，これらの$J$個の中で奇数となるものは$K$個できる．$J$と$K$の値を求めよ．
(3)$m$を自然数とする．関数$f(x)=(x-2) \sqrt{x^4(x+1)^2}$に対して，定積分$\displaystyle B=m \int_{-2}^2 f(x) \, dx$の値が整数となる$m$の最小値$M$の値を求めよ．また，このときの$B$の値を求めよ．
(1)$5 \tan \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\frac{\sin^4 \theta-\cos^4 \theta}{12 \sin \theta \cos \theta+6}$の値を求めよ．
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の$7$個の数字がある．これらの数字を並べて$7$桁の整数を作る．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．このとき，偶数が隣り合わないような$7$桁の整数は全部で$J$個できる．また，これらの$J$個の中で奇数となるものは$K$個できる．$J$と$K$の値を求めよ．
(3)$m$を自然数とする．関数$f(x)=(x-2) \sqrt{x^4(x+1)^2}$に対して，定積分$\displaystyle B=m \int_{-2}^2 f(x) \, dx$の値が整数となる$m$の最小値$M$の値を求めよ．また，このときの$B$の値を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2014年 第2問ある病気に関する$3$つの検査，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$3$つの検査の結果はどれも陽性か陰性のどちらかである．$n$人に上記の$3$つの検査を行う．陽性になった検査の数が$k$個であった者の人数を$n_k$とする（$k=0,\ 1,\ 2,\ 3$）．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$n=10$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1,\ n_2,\ n_3$の組$(n_0,\ n_1,\ n_2,\ n_3)$は全部で何通りあるか．
(2)$n=15$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1$の組$(n_0,\ n_1)$のうち，下記の条件$1,\ 2,\ 3$のすべてを満たすものは全部で何通りあるか．
条件$1$：検査$\mathrm{A}$で陽性となった者は$5$人
条件$2$：検査$\mathrm{A}$で陰性となり，検査$\mathrm{B}$で陽性となった者は$6$人
条件$3$：検査$\mathrm{B}$で陽性となり，検査$\mathrm{C}$で陰性となった者はいない
(3)$n=2m$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1,\ n_3$の組$(n_0,\ n_1,\ n_3)$のうち，下記の条件$4,\ 5$の両方を満たすものは全部で何通りあるか．
条件$4$：検査$\mathrm{A}$で陽性となった者は$m$人，陰性になった者も$m$人
条件$5$：検査$\mathrm{B}$で陽性となり，検査$\mathrm{C}$で陰性となった者はいない．
(1)$n=10$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1,\ n_2,\ n_3$の組$(n_0,\ n_1,\ n_2,\ n_3)$は全部で何通りあるか．
(2)$n=15$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1$の組$(n_0,\ n_1)$のうち，下記の条件$1,\ 2,\ 3$のすべてを満たすものは全部で何通りあるか．
条件$1$：検査$\mathrm{A}$で陽性となった者は$5$人
条件$2$：検査$\mathrm{A}$で陰性となり，検査$\mathrm{B}$で陽性となった者は$6$人
条件$3$：検査$\mathrm{B}$で陽性となり，検査$\mathrm{C}$で陰性となった者はいない
(3)$n=2m$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1,\ n_3$の組$(n_0,\ n_1,\ n_3)$のうち，下記の条件$4,\ 5$の両方を満たすものは全部で何通りあるか．
条件$4$：検査$\mathrm{A}$で陽性となった者は$m$人，陰性になった者も$m$人
条件$5$：検査$\mathrm{B}$で陽性となり，検査$\mathrm{C}$で陰性となった者はいない．
国立 小樽商科大学 2014年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補いなさい．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$1$から$15$までの自然数全体からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 15\}$の部分集合で，$10$個の要素からなり，すべての要素の和が$56$以上になるものは全部で$\kakkofour{$30$}{$31$}{$32$}{$33$}$個ある．
(2)女子$7$人と男子$4$人がいる．その中から$3$人を選び，$3$個の異なるお菓子を$1$人に$1$個ずつ与える．ただし，$2$人以上の女子を選ばなければならないとすると，与える方法は$[$34$][$35$][$36$]$通りである．
(1)$1$から$15$までの自然数全体からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 15\}$の部分集合で，$10$個の要素からなり，すべての要素の和が$56$以上になるものは全部で$\kakkofour{$30$}{$31$}{$32$}{$33$}$個ある．
(2)女子$7$人と男子$4$人がいる．その中から$3$人を選び，$3$個の異なるお菓子を$1$人に$1$個ずつ与える．ただし，$2$人以上の女子を選ばなければならないとすると，与える方法は$[$34$][$35$][$36$]$通りである．
私立 愛知学院大学 2014年 第4問$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3$の$8$個の数字を全部使って$8$桁の整数を作る．これらの整数について，次の問いに答えなさい．
(1)百の位，十の位，一の位の数字がすべて$2$である整数は何個あるか．
(2)百の位，十の位，一の位の数字がすべて$1$である整数は何個あるか．
(3)百の位，十の位，一の位の数字が互いに異なる整数は何個あるか．
(4)百の位，十の位，一の位の数字のうち，$2$つの数字が同じで，残りの$1$つの数字がそれらと違う整数は何個あるか．
(1)百の位，十の位，一の位の数字がすべて$2$である整数は何個あるか．
(2)百の位，十の位，一の位の数字がすべて$1$である整数は何個あるか．
(3)百の位，十の位，一の位の数字が互いに異なる整数は何個あるか．
(4)百の位，十の位，一の位の数字のうち，$2$つの数字が同じで，残りの$1$つの数字がそれらと違う整数は何個あるか．
私立 中京大学 2014年 第2問$\mathrm{Y}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{A}$の$12$文字全部を横$1$列に並べて順列をつくるとき，次の各問に答えよ．
(1)順列の総数を求めよ．
(2)$\mathrm{GO}$という並びを含む順列の総数を求めよ．
(1)順列の総数を求めよ．
(2)$\mathrm{GO}$という並びを含む順列の総数を求めよ．