「全部」について
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国立 宇都宮大学 2010年 第1問$0$以上の整数$a,\ b,\ c,\ d,\ n$について，次の問いに答えよ．
(1)$a+b=n$を満たす$a,\ b$の組$(a,\ b)$は全部で何個あるか，$n$を用いて表せ．
(2)$a+b+c=n$を満たす$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は全部で何個あるか，$n$を用いて表せ．
(3)$a+b+c+d=n$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の組$(a,\ b,\ c,\ d)$は全部で何個あるか，$n$を用いて表せ．
(1)$a+b=n$を満たす$a,\ b$の組$(a,\ b)$は全部で何個あるか，$n$を用いて表せ．
(2)$a+b+c=n$を満たす$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は全部で何個あるか，$n$を用いて表せ．
(3)$a+b+c+d=n$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の組$(a,\ b,\ c,\ d)$は全部で何個あるか，$n$を用いて表せ．
国立 京都教育大学 2010年 第2問$1$，$2$，$2$，$3$，$3$，$3$，$4$，$4$，$4$，$4$の$10$個の数字がある．
(1)$10$個の数字のうち$3$個を用いて作られる$3$桁の整数は全部で何個あるか．
(2)$10$個の数字のうち$4$個を用いて作られる$4$桁の整数は全部で何個あるか．
(1)$10$個の数字のうち$3$個を用いて作られる$3$桁の整数は全部で何個あるか．
(2)$10$個の数字のうち$4$個を用いて作られる$4$桁の整数は全部で何個あるか．
国立 鳴門教育大学 2010年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の記号がつけられた$3$つの袋に，赤玉$5$個，白玉$6$個すべてを入れる場合の数について考える．次の問いに答えよ．ただし，同じ色の玉は区別しないものとする．
(1)空になる袋があってもよいとすると，全部で何通りの入れ方があるか．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$それぞれの袋に，赤玉$1$個と白玉$1$個は少なくとも入っているようにする入れ方は何通りあるか．
(3)空の袋がないようにする入れ方は何通りあるか．
(1)空になる袋があってもよいとすると，全部で何通りの入れ方があるか．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$それぞれの袋に，赤玉$1$個と白玉$1$個は少なくとも入っているようにする入れ方は何通りあるか．
(3)空の袋がないようにする入れ方は何通りあるか．
私立 北海道科学大学 2010年 第5問図$1$はある町の道路を直線で示したものである．以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで遠回りをしないで行く最短の道順は全部で$[ ]$通りある．
(2)図$2$のように点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$を結ぶ道路が工事中のため通行止めになった．このとき，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで遠回りをしないで行く最短の道順は$[ ]$通りある．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで遠回りをしないで行く最短の道順は全部で$[ ]$通りある．
(2)図$2$のように点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$を結ぶ道路が工事中のため通行止めになった．このとき，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで遠回りをしないで行く最短の道順は$[ ]$通りある．
私立 愛知工業大学 2010年 第4問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[ ]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[ ]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[ ] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[ ] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[ ]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[ ]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[ ]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[ ]$円である．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[ ]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[ ]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[ ] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[ ] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[ ]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[ ]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[ ]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[ ]$円である．
公立 名古屋市立大学 2010年 第3問同じ大きさの立方体を$12$個積んでできた直方体を図に示す．頂点$\mathrm{A}$ \\
から頂点$\mathrm{B}$まで立方体の辺を通って最短距離で進むものとする． \\
次の問いに答えよ．
\img{415_2581_2010_1}{20}
(1)進み方は全部で何通りあるか．
(2)直方体の内部を少なくとも一度は通る進み方は何通りあるか．
(3)頂点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$のいずれも通らない進み方は何通りあるか．
から頂点$\mathrm{B}$まで立方体の辺を通って最短距離で進むものとする． \\
次の問いに答えよ．
\img{415_2581_2010_1}{20}
(1)進み方は全部で何通りあるか．
(2)直方体の内部を少なくとも一度は通る進み方は何通りあるか．
(3)頂点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$のいずれも通らない進み方は何通りあるか．
公立 岐阜薬科大学 2010年 第5問赤玉$n$個，白玉$n$個，合計$2n$個（$n \geqq 2$）の玉を無作為に左から$1$列に並べるとき，得点$X$を次のように定める．
(i) 赤玉が連続している部分が$m$ヶ所（$m \geqq 1$）あり，そこに含まれる赤玉の総数が$l$であるとき，$X=l-m+1$とする．
(ii) 赤玉が連続している部分がないときは，$X=1$とする．
たとえば，$n=5$のとき，赤赤白赤赤白赤白白白ならば，$X=4-2+1=3$である．
(1)$n=6$のとき，並べ方は全部で何通りあるか求めよ．また，このとき$X=1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$となる並べ方はそれぞれ何通りあるか求め，$X$の期待値$E(X)$を求めよ．
(2)$n=k (k \geqq 7)$のとき，$X=3,\ 4$となる並べ方の総数をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(i) 赤玉が連続している部分が$m$ヶ所（$m \geqq 1$）あり，そこに含まれる赤玉の総数が$l$であるとき，$X=l-m+1$とする．
(ii) 赤玉が連続している部分がないときは，$X=1$とする．
たとえば，$n=5$のとき，赤赤白赤赤白赤白白白ならば，$X=4-2+1=3$である．
(1)$n=6$のとき，並べ方は全部で何通りあるか求めよ．また，このとき$X=1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$となる並べ方はそれぞれ何通りあるか求め，$X$の期待値$E(X)$を求めよ．
(2)$n=k (k \geqq 7)$のとき，$X=3,\ 4$となる並べ方の総数をそれぞれ$k$を用いて表せ．