次の空欄を適当に補え．

(1)円$x^2+2x+y^2-6y-6=0$の半径は$[ア]$であり，中心の座標は$[イ]$である．

(2)$\displaystyle 2 \log_84+\log_3 \sqrt{15}-\frac{1}{\log_59}$を計算すると$[ウ]$である．

(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．方程式$\cos 2x-5 \cos x+3=0$を解くと，$x=[エ],\ [オ]$である．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から同じ数字を繰り返し使わずに作れる$3$桁の偶数は全部で$[カ]$個ある．

実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$n$が$[\sqrt{n}]$の整数倍で表せるとき，そのような$n$を小さいものから順に並べて
\[ n_1,\ n_2,\ n_3,\ \cdots \]
とする．

(1)$n_5=[マ]$である．
(2)自然数$p$に対して，$[\sqrt{n}]=p$をみたす自然数$n$の集合を$M_p$とする．$M_p$の要素で$p$の整数倍であるものは全部で$[ミ]$個ある．
(3)自然数$m$に対して，
\[ S_m=\sum_{i=1}^m n_i \]
とおく．$k \geqq 1$のとき，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$はいずれも$k$の多項式で，それぞれの$k$の$1$次の項の係数は$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$の順に$[ム]$，$[メ]$，$[モ]$である．また，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$は共通の因数$\displaystyle \left( k+[ヤ] \right)$をもつ．

(4)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{\sqrt[3]{S_m}}{m}=\frac{[ユ]}{[ヨ]}$である．

次の問いに答えなさい．

(1)$1$以上$200$以下の自然数の中で，$2$または$5$で割り切れる数はいくつありますか．その個数を求めなさい．
(2)次の式を因数分解しなさい．
\[ 3(2x-3)^2-4(2x+1)+12 \]
(3)次の不等式を解きなさい．
\[ |x-2|>3x \]
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$のとき，次の式の値を求めなさい．


(i) $x^2-y^2$
(ii) $x^3+y^3$

(5)$7$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$から異なる$5$個を取り出して$1$列に並べるとき，次の問いに答えなさい．

(i) $5$桁の整数は全部で何個できるか．その個数を求めなさい．
(ii) $(1)$で求めた$5$桁の整数のうち，奇数は何個できるか．その個数を求めなさい．

(6)$\displaystyle \left( 3x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の展開式における$x^4$の係数を求めなさい．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)$(x+1)(y+1)(xy+1)+xy$を因数分解すると$[　]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$2 \sin x=1$を満たす$x$は$x=[　]$である．
(3)$L=\log_a b \times \log_b c \times \log_c a$の値を計算すると$L=[　]$である．
(4)$|m^2-30|<20$を満たす整数$m$は全部で$[　]$個ある．
(5)$4$次方程式$x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b=0$の解のうち$2$つは$1$と$2$である．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$であり，残りの解は$[　]$と$[　]$である．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)式$(x-2y+3z)^2$を展開したとき，$y^2$の係数は$[$1$]$であり，$yz$の係数は$[$2$]$である．
(2)下の図の斜線部分は$3$つの不等式$[$3$]$，$[$4$]$，$[$5$]$で表される．ただし，境界線は含まないものとする．
（図は省略）
(3)$2$つの複素数$2+\sqrt{3}i$，$2-\sqrt{3}i$を解とする$2$次方程式の$1$つは
\[ x^2-[$6$]x+[$7$]=0 \]
である．
(4)$108$を素因数分解すると，$2$の$[$8$]$乗と$3$の$[$9$]$乗の積として表すことができる．したがって，$108$の正の約数は全部で$[$10$]$個である．
(5)当たりくじ$3$本を含む$10$本のくじがある．引いたくじはもとに戻さないものとして，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順に$1$本ずつくじを引く．このとき$3$人のうちで$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の$2$人だけが当たる確率は$[$11$]$であり，$3$人のうちで$\mathrm{B}$か$\mathrm{C}$のどちらか$1$人だけが当たる確率は$[$12$]$である．
(6)$a_{n+1}-a_n=1$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$13$]$である．また，$a_{n+1}-a_n=n$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$14$]$である．
(7)式$\sqrt{7+2 \sqrt{10}}+\sqrt{13-4 \sqrt{10}}$を簡単にすると$[$15$]$，式$\sqrt{8+2 \sqrt{15}}+\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$を簡単にすると$[$16$]$である．
(8)$2$次関数
\[ y=ax^2+2ax+b \quad (a<0) \]
の定義域を$|x| \leqq 2$，値域を$|y| \leqq 9$とする．このとき，$a=[$17$]$で，$b=[$18$]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-(2a+1)x-3a+1=0$（$a$は定数）の$1$つの解が$x=-1$であるとき，$a=[ア]$であり，他の解は$x=[イ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5+14i}{4+i}=[ウ]+[エ]i$（ただし，$i^2=-1$）である．
(3)$(x^2+3x+2)(x^2-3x+2)=x^4-[オ]x^2+[カ]$である．
(4)$2n^2-9n-5 \leqq 0$をみたす整数$n$は全部で$[キ]$個ある．
(5)$10$本のくじのうち$4$本が当たりくじである．この中から，同時に$2$本のくじを引くとき，少なくとも$1$本は当たりくじである確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(6)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ 1)$において，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[コ]$であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$[サシ]^\circ$である．
(7)$3^n>10000$をみたす最小の整数$n$は$[ス]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^2-2x+3) \, dx=[セソ]$である．

あるジュースにはおまけとして$1$本につき$1$つのキャラクターグッズが付いている．キャラクターグッズは全部で$6$種類あり，現在$2$種類持っているとする．各キャラクターグッズは，同じ割合で封入されているとして，以下の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)今からカウントして，$3$種類目のキャラクターグッズを得るまでに購入するジュースの本数を$X$とする．

(i) $X=1$となる確率は$[　]$である．
(ii) $X=2$となる確率は$[　]$である．
(iii) $X=k$となる確率を$P(k)$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n kP(k)=[　]$となる．

(2)ジュースを$5$本，まとめ買いしたとする．

(i) この$5$本のおまけの中に，少なくとも$1$つは，現在持っていないキャラクターグッズが含まれる確率は$[　]$である．
(ii) 現在持っていないキャラクターグッズを，ちょうど$1$つだけ得る確率は$[　]$である．
(iii) 現在持っていないキャラクターグッズ$4$種類を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．$5$つのおまけの中で，$\mathrm{A}$が$2$つ$\mathrm{B}$が$1$つ，残り$2$つはすでに持っているキャラクターグッズが出る確率は$[　]$である．
\mon[$\tokeishi$] 現在持っていないキャラクターグッズ$2$種類をちょうど$1$つずつだけ（残り$3$つはすでに持っているキャラクターグッズを）得る確率は$[　]$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$3$つの数字を使って作られる$3$桁の整数の中で，$345$より大きなものは$[　]$個である．また，$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$4$つの数字を使って作られる$4$桁の整数は，全部で$[　]$個である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-1,\ 5)$のなす角を$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．また，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．したがって，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で作られる平行四辺形の面積は$[　]$である．
(3)$n \leqq \log_{10}2^{40}<n+1$を満たす整数は$n=[　]$であるから，$2^{40}$は$[　]$桁の整数である．$\log_{10}2$の値として$0.3010$を用いてよい．
(4)方程式$x^2=3+\sqrt{3+x}$の解は$x=[　]$，$\displaystyle \frac{[　]+\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

A，B，C，D，E，F，G，Hの8人を2人ずつ4部屋に分けることにする．部屋は1階の11号室と12号室，2階の21号室と22号室の4つである．この8人で部屋割り表を作る．次の問いに答えよ．

(1)全部で何通りの部屋割り表を作ることができるか．
(2)(1)の部屋割り表の中で，AとBが同じ部屋になる組み合わせは何通りあるか．
(3)8人で公平にくじを引き，部屋を決める．その結果，AとBが異なる階の部屋に分かれる確率を求めよ．

$a,\ a,\ b,\ b,\ c,\ d,\ e$の7個の文字すべてを1列に並べるとき，次の問いに答えよ．

(1)並べ方は全部で何通りあるか．
(2)2つの$a$が隣り合う並べ方は何通りあるか．
(3)2つの$a$が隣り合わず，かつ2つの$b$も隣り合わない並べ方は何通りあるか．