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国立 鳥取大学 2011年 第2問下図において，北隅のAの文字から南隅のAの文字まで，南東または南西に文字をたどって最短で進むとき，経路上の文字を読むとABRACADABRAとなる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後，「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか．
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後，「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか．
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
国立 鳥取大学 2011年 第4問下図において，北隅のAの文字から南隅のAの文字まで，南東または南西に文字をたどって最短で進むとき，経路上の文字を読むとABRACADABRAとなる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後，「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか．
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
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（図は省略）
(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後，「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか．
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
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（図は省略）
国立 浜松医科大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として，全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\
A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\
B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \}
\end{array} \]
このとき，部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
(2)次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは，$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である．
(3)命題$\mathrm{P}$において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題$\mathrm{Q}$をつくる．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．
(4)$9$と$11$のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると，$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという．番号$k$を求めよ．
(1)$3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として，全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\
A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\
B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \}
\end{array} \]
このとき，部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
(2)次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは，$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である．
(3)命題$\mathrm{P}$において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題$\mathrm{Q}$をつくる．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．
(4)$9$と$11$のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると，$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという．番号$k$を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である．
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1$，$a_2=2$である．
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある．
(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である．
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1$，$a_2=2$である．
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある．
私立 早稲田大学 2011年 第1問$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)関数
\[ f(x) = \int_0^1 |t^2-x^2| \, dt \]
の最小値は$[ア]$である．
(2)$n$を正の整数とする．$10^n$の正の約数すべての積は$[イ]$である．
(3)$\log_3n$が無理数となる$2011$以下の正の整数$n$は，全部で$[ウ]$個ある．
(4)関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たしている．
(5)すべての実数$x$に対して，$f(3+x)=f(3-x)$
(6)$x$の値が，異なる$5$つの実数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$のときに限り$f(x)=0$となる．
このとき$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=[エ]$である．
(1)関数
\[ f(x) = \int_0^1 |t^2-x^2| \, dt \]
の最小値は$[ア]$である．
(2)$n$を正の整数とする．$10^n$の正の約数すべての積は$[イ]$である．
(3)$\log_3n$が無理数となる$2011$以下の正の整数$n$は，全部で$[ウ]$個ある．
(4)関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たしている．
(5)すべての実数$x$に対して，$f(3+x)=f(3-x)$
(6)$x$の値が，異なる$5$つの実数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$のときに限り$f(x)=0$となる．
このとき$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=[エ]$である．
私立 金沢工業大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア] \sqrt{[イ]}$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[ウエ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)$(2a+1)(2a-1)(a^2-a+4)$の展開式における$a^2$の項の係数は$[カキ]$である．
(3)整式$A=x^2-2xy+3y^2$，$B=2x^2+3y^2$，$C=x^2-2xy$について
\[ 2(A-B)-\{C-(3A-B)\}=[クケ]x^2-[コ]xy+[サ]y^2 \]
である．
(4)方程式$x^2+3kx+k^2+5k=0$が重解をもつような定数$k$の値は$[シ]$，$[ス]$である．ただし，$[シ]<[ス]$とする．また，$k=[ス]$のとき，この方程式の重解は$x=[セソ]$である．
(5)$2$次関数$y=2x^2-2mx-m^2+9$のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$\sqrt{[タ]}<m<[チ]$である．
(6)$\displaystyle \tan \theta=-\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{[ツ]}$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．
(7)数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使い$4$桁の整数を作る．このとき，$4$桁の整数は全部で$[アイ]$個あり，このうち$2$の倍数は$[ウエ]$個ある．ただし，同じ数字を重複して使わないこととする．
(8)大小$2$個のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$X+Y=8$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$であり，$2X-Y=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
(1)$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア] \sqrt{[イ]}$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[ウエ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)$(2a+1)(2a-1)(a^2-a+4)$の展開式における$a^2$の項の係数は$[カキ]$である．
(3)整式$A=x^2-2xy+3y^2$，$B=2x^2+3y^2$，$C=x^2-2xy$について
\[ 2(A-B)-\{C-(3A-B)\}=[クケ]x^2-[コ]xy+[サ]y^2 \]
である．
(4)方程式$x^2+3kx+k^2+5k=0$が重解をもつような定数$k$の値は$[シ]$，$[ス]$である．ただし，$[シ]<[ス]$とする．また，$k=[ス]$のとき，この方程式の重解は$x=[セソ]$である．
(5)$2$次関数$y=2x^2-2mx-m^2+9$のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$\sqrt{[タ]}<m<[チ]$である．
(6)$\displaystyle \tan \theta=-\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{[ツ]}$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．
(7)数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使い$4$桁の整数を作る．このとき，$4$桁の整数は全部で$[アイ]$個あり，このうち$2$の倍数は$[ウエ]$個ある．ただし，同じ数字を重複して使わないこととする．
(8)大小$2$個のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$X+Y=8$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$であり，$2X-Y=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
私立 上智大学 2011年 第1問$a,\ b,\ c$は整数で，$a \geqq 1,\ b \geqq 0,\ c \geqq 0$とする．$x$の2次式$P(x)=ax^2+bx+c$を考える．
(1)$P(1)=2$を満たす$P(x)$は全部で[ア]個存在する．
(2)条件 \[ \lceil P(n)=5 \text{を満たす自然数}n\text{が存在する}\rfloor \]
を満たす$P(x)$は全部で[イ]個存在する．
このような$P(x)$のうち，$P(3)=17$を満たすものは
\[ P(x) = [ウ]x^2+[エ]x+[オ] \]
である．
(3)条件
\[ \lceil P(n)=3 \text{を満たす自然数}n\text{が存在し，} \]
\[ \qquad \qquad \text{かつ，任意の自然数}m\text{に対して}P(m)\text{が奇数である}\rfloor \]
を満たす$P(x)$のうち，$a$が最大のものは
\[ P(x) = [カ]x^2+[キ]x+[ク] \]
であり，$a$が最小のものは
\[ P(x) = [ケ]x^2+[コ]x+[サ] \]
である．
(1)$P(1)=2$を満たす$P(x)$は全部で[ア]個存在する．
(2)条件 \[ \lceil P(n)=5 \text{を満たす自然数}n\text{が存在する}\rfloor \]
を満たす$P(x)$は全部で[イ]個存在する．
このような$P(x)$のうち，$P(3)=17$を満たすものは
\[ P(x) = [ウ]x^2+[エ]x+[オ] \]
である．
(3)条件
\[ \lceil P(n)=3 \text{を満たす自然数}n\text{が存在し，} \]
\[ \qquad \qquad \text{かつ，任意の自然数}m\text{に対して}P(m)\text{が奇数である}\rfloor \]
を満たす$P(x)$のうち，$a$が最大のものは
\[ P(x) = [カ]x^2+[キ]x+[ク] \]
であり，$a$が最小のものは
\[ P(x) = [ケ]x^2+[コ]x+[サ] \]
である．
私立 北海学園大学 2011年 第2問$1$から$10$までの整数の中から異なる$3$個の整数を取り出す．
(1)$3$個の整数の取り出し方は全部で何通りあるか．
(2)取り出した$3$個の整数の和が偶数になる場合は何通りあるか．
(3)取り出した$3$個の整数の和が$10$以上の偶数になる場合は何通りあるか．
(1)$3$個の整数の取り出し方は全部で何通りあるか．
(2)取り出した$3$個の整数の和が偶数になる場合は何通りあるか．
(3)取り出した$3$個の整数の和が$10$以上の偶数になる場合は何通りあるか．
私立 東北学院大学 2011年 第5問次の問いに答えよ．
(1)$2160$の正の約数は全部で何個あるか．またそれらの総和を求めよ．
(2)$864$の正の約数のうち，$12$の倍数または$18$の倍数であるものは全部で何個あるか．またそれらの総和を求めよ．
(1)$2160$の正の約数は全部で何個あるか．またそれらの総和を求めよ．
(2)$864$の正の約数のうち，$12$の倍数または$18$の倍数であるものは全部で何個あるか．またそれらの総和を求めよ．
私立 西南学院大学 2011年 第2問次の問に答えよ．
(1)下図のように，正方形の各辺を$6$等分し，各辺に平行線を引く．これらの平行線によって作られる正方形でない長方形の総数は$[キクケ]$個である．
（図は省略）
(2)円周を$10$等分する$10$個の点がある．これらのうちの$3$個の点を頂点とする三角形を考える．直角三角形は全部で$[コサ]$個あり，また鈍角三角形は全部で$[シス]$個ある．
(1)下図のように，正方形の各辺を$6$等分し，各辺に平行線を引く．これらの平行線によって作られる正方形でない長方形の総数は$[キクケ]$個である．
（図は省略）
(2)円周を$10$等分する$10$個の点がある．これらのうちの$3$個の点を頂点とする三角形を考える．直角三角形は全部で$[コサ]$個あり，また鈍角三角形は全部で$[シス]$個ある．