「全部」について
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私立 酪農学園大学 2012年 第3問袋の中に$1$から$5$の番号のついた赤玉と，$1$から$10$の番号のついた白玉が，それぞれ$1$個ずつ入っている．この袋から同時に$2$個の玉を取り出す試行を考える．$A$は少なくとも$1$個が赤玉である事象，$B$は番号の和が奇数となる事象とする．事象$X$の起こる確率を$P(X)$とするとき，積事象$A \cap B$の起こる確率$P(A \cap B)$，和事象$A \cup B$の起こる確率$P(A \cup B)$を求めたい．次の文章中の空欄に値を入れよ．
「玉の取り出し方は全部で$[$1$]$通りある．
$A$の余事象$\overline{A}$の起こる場合の数は$[$2$]$通りだから，$A$の起こる確率は，
\[ P(A)=1-P(\overline{A})=[$3$] \]
となる．
一方，$B$の起こる場合の数は，赤玉$1$個と白玉$1$個を取り出すときは$[$4$]$通り，赤玉$2$個を取り出すときは$[$5$]$通り，白玉$2$個を取り出すときは$[$6$]$通りある．
よって，$B$の起こる確率は，
\[ P(B)=[$7$] \]
となる．したがって，$A \cap B$の起こる確率は，
\[ P(A \cap B)=[$8$] \]
となり，$A \cup B$の起こる確率は，
\[ P(A \cup B)=[$9$] \]
となる．」
「玉の取り出し方は全部で$[$1$]$通りある．
$A$の余事象$\overline{A}$の起こる場合の数は$[$2$]$通りだから，$A$の起こる確率は，
\[ P(A)=1-P(\overline{A})=[$3$] \]
となる．
一方，$B$の起こる場合の数は，赤玉$1$個と白玉$1$個を取り出すときは$[$4$]$通り，赤玉$2$個を取り出すときは$[$5$]$通り，白玉$2$個を取り出すときは$[$6$]$通りある．
よって，$B$の起こる確率は，
\[ P(B)=[$7$] \]
となる．したがって，$A \cap B$の起こる確率は，
\[ P(A \cap B)=[$8$] \]
となり，$A \cup B$の起こる確率は，
\[ P(A \cup B)=[$9$] \]
となる．」
私立 東北医科薬科大学 2012年 第3問点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$，$\mathrm{A}_5$と点$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_5$が次のように並んでいる．
\[ \begin{array}{ccccc}
\mathrm{A}_1 & \mathrm{A}_2 & \mathrm{A}_3 & \mathrm{A}_4 & \mathrm{A}_5 \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\
\mathrm{B}_1 & \mathrm{B}_2 & \mathrm{B}_3 & \mathrm{B}_4 & \mathrm{B}_5
\end{array} \]
各点$\mathrm{A}_i (1 \leqq i \leqq 5)$に対し，それぞれすべて異なる点$\mathrm{B}_j (1 \leqq j \leqq 5)$を$1$つずつ選んで線分で結ぶ．こうしてできた$5$本の線分を次のような集まりに分ける分け方を考える．
(i) 他の線分と交わらない線分はその線分だけで$1$つの集まりとする．
(ii) 他の線分と交わる線分は，その線分と交わる線分，及び，これらのいずれかに交わる線分を繰り返しすべて集めて$1$つの集まりとする．
例えば，次は集まりの個数が$3$個となる分け方である．
（図は省略）
また，次は集まりの個数が$2$個となる分け方である．
（図は省略）
このとき，次の問に答えなさい．
(1)集まりの個数が$5$個となる分け方は全部で$[ア]$通りである．
(2)集まりの個数が$4$個となる分け方は全部で$[イ]$通りである．
(3)集まりの個数が$3$個となる分け方は全部で$[ウエ]$通りである．
(4)集まりの個数が$2$個となる分け方は全部で$[オカ]$通りである．
\[ \begin{array}{ccccc}
\mathrm{A}_1 & \mathrm{A}_2 & \mathrm{A}_3 & \mathrm{A}_4 & \mathrm{A}_5 \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\
\mathrm{B}_1 & \mathrm{B}_2 & \mathrm{B}_3 & \mathrm{B}_4 & \mathrm{B}_5
\end{array} \]
各点$\mathrm{A}_i (1 \leqq i \leqq 5)$に対し，それぞれすべて異なる点$\mathrm{B}_j (1 \leqq j \leqq 5)$を$1$つずつ選んで線分で結ぶ．こうしてできた$5$本の線分を次のような集まりに分ける分け方を考える．
(i) 他の線分と交わらない線分はその線分だけで$1$つの集まりとする．
(ii) 他の線分と交わる線分は，その線分と交わる線分，及び，これらのいずれかに交わる線分を繰り返しすべて集めて$1$つの集まりとする．
例えば，次は集まりの個数が$3$個となる分け方である．
（図は省略）
また，次は集まりの個数が$2$個となる分け方である．
（図は省略）
このとき，次の問に答えなさい．
(1)集まりの個数が$5$個となる分け方は全部で$[ア]$通りである．
(2)集まりの個数が$4$個となる分け方は全部で$[イ]$通りである．
(3)集まりの個数が$3$個となる分け方は全部で$[ウエ]$通りである．
(4)集まりの個数が$2$個となる分け方は全部で$[オカ]$通りである．
私立 東北工業大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)先生$2$人と生徒$4$人の合計$6$人が円形のテーブルに向かって座るとき，先生$2$人が隣り合うような座り方は全部で$[][]$通りある．
(2)赤球と白球が$3$個ずつ入っている袋から同時に$3$個の球を取りだすとき，赤球$2$個，白球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[][]}{20}$である．
(3)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},\ 7)$，$\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3},\ 1)$とし，$t$は実数とする．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさは$t=-[][]$のとき最小となり，最小値は$[][] \sqrt{3}$である．
(4)$n$を自然数とする．初項が$-2$，公差が$\displaystyle \frac{1}{12}$の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_{24}=-[][]$である．
(1)先生$2$人と生徒$4$人の合計$6$人が円形のテーブルに向かって座るとき，先生$2$人が隣り合うような座り方は全部で$[][]$通りある．
(2)赤球と白球が$3$個ずつ入っている袋から同時に$3$個の球を取りだすとき，赤球$2$個，白球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[][]}{20}$である．
(3)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},\ 7)$，$\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3},\ 1)$とし，$t$は実数とする．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさは$t=-[][]$のとき最小となり，最小値は$[][] \sqrt{3}$である．
(4)$n$を自然数とする．初項が$-2$，公差が$\displaystyle \frac{1}{12}$の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_{24}=-[][]$である．
私立 獨協大学 2012年 第2問今年から毎年初めに一定の金額$a$円を，複利法により一定の年利率$r$で積み立てるとする．今年から$n$年後の元利合計について次の問題に答えよ．
(1)今年の初めに預金する$a$円は，$1$年後いくらになるか．
(2)今年の初めに預金する$a$円は，$n$年後いくらになるか．
(3)来年の初めに預金する$a$円は，$n$年後いくらになるか．
(4)$n$年後の元利合計はいくらになるか．ただし，預金する回数は全部で$n$回とする．
(1)今年の初めに預金する$a$円は，$1$年後いくらになるか．
(2)今年の初めに預金する$a$円は，$n$年後いくらになるか．
(3)来年の初めに預金する$a$円は，$n$年後いくらになるか．
(4)$n$年後の元利合計はいくらになるか．ただし，預金する回数は全部で$n$回とする．
私立 法政大学 2012年 第1問$0$から$3$までの数字が$1$つずつ書いてある$4$個の玉が入った袋がある．
(1)袋から$1$個の玉を取り出してそれに書かれた数を確認してから玉を袋に戻し，もう一度袋から$1$個の玉を取り出すとき，最初に取り出された玉に書かれた数と後に取り出された玉に書かれた数との積の期待値を求めよ．
(2)袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，それらに書かれた$2$個の数の積の期待値を求めよ．
(3)袋から$1$個の玉を取り出してそれに書かれた数$k$を確認してから玉を袋に戻し，今度は袋から$k$個の玉を同時に取り出すとき，最初に取り出された玉に書かれた数と後に取り出された玉に書かれた$k$個の数の，全部で$(k+1)$個の数の積の期待値を求めよ．ただし，$0$個の玉を取り出すとは玉を取り出さないこととし，$1$個の数の積とはその数のこととする．
(1)袋から$1$個の玉を取り出してそれに書かれた数を確認してから玉を袋に戻し，もう一度袋から$1$個の玉を取り出すとき，最初に取り出された玉に書かれた数と後に取り出された玉に書かれた数との積の期待値を求めよ．
(2)袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，それらに書かれた$2$個の数の積の期待値を求めよ．
(3)袋から$1$個の玉を取り出してそれに書かれた数$k$を確認してから玉を袋に戻し，今度は袋から$k$個の玉を同時に取り出すとき，最初に取り出された玉に書かれた数と後に取り出された玉に書かれた$k$個の数の，全部で$(k+1)$個の数の積の期待値を求めよ．ただし，$0$個の玉を取り出すとは玉を取り出さないこととし，$1$個の数の積とはその数のこととする．
私立 関西学院大学 2012年 第1問次の文章中の$[ ]$に適する式または数値を記入せよ．
(1)実数$x$が不等式${(\log_2 x)}^2-\log_2 (4x)<0$を満たすとする．このとき，$\log_2 x$の範囲は
\[ [ア]<\log_2 x<[イ] \]
であるから，$x$の範囲は
\[ [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)数列$2,\ 3,\ 0,\ 9,\ -18,\ 63,\ -180,\ \cdots$を$\{a_n\}$とするとき，$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は初項$[オ]$，公比$[カ]$の等比数列である．したがって，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．
(3)円$C$上に頂点をもつ正$8$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_8$の頂点から異なる$3$点を選び，それらを結んで三角形を作る．三角形の作り方は全部で$[ク]$通りある．これらの三角形のうち一辺が円$C$の直径になるものは$[ケ]$個ある．また二等辺三角形になるものは$[コ]$個ある．
(1)実数$x$が不等式${(\log_2 x)}^2-\log_2 (4x)<0$を満たすとする．このとき，$\log_2 x$の範囲は
\[ [ア]<\log_2 x<[イ] \]
であるから，$x$の範囲は
\[ [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)数列$2,\ 3,\ 0,\ 9,\ -18,\ 63,\ -180,\ \cdots$を$\{a_n\}$とするとき，$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は初項$[オ]$，公比$[カ]$の等比数列である．したがって，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．
(3)円$C$上に頂点をもつ正$8$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_8$の頂点から異なる$3$点を選び，それらを結んで三角形を作る．三角形の作り方は全部で$[ク]$通りある．これらの三角形のうち一辺が円$C$の直径になるものは$[ケ]$個ある．また二等辺三角形になるものは$[コ]$個ある．
私立 千葉工業大学 2012年 第3問次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$とおくと$\displaystyle t^2=x^2+\frac{[アイ]}{x^2}-[ウ]$である．$4$次方程式
\[ x^4-2x^3-16x^2+8x+16=0 \cdots\cdots (*) \]
の両辺に$\displaystyle \frac{1}{x^2}$をかけた方程式は，$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$を用いて，$t^2-[エ]t-[オ]=0$と表される．$4$次方程式$(*)$の解は$x=[カ] \pm [キ] \sqrt{[ク]}$，$[ケコ] \pm \sqrt{[サ]}$である．
(2)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個を並べて$3$桁の整数をつくる．このような整数は全部で$[シス]$個あり，このうち，偶数は$[セソ]$個，$9$の倍数は$[タ]$個ある．また，偶数でもなく$9$の倍数でもないものは$[チツ]$個ある．
(1)$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$とおくと$\displaystyle t^2=x^2+\frac{[アイ]}{x^2}-[ウ]$である．$4$次方程式
\[ x^4-2x^3-16x^2+8x+16=0 \cdots\cdots (*) \]
の両辺に$\displaystyle \frac{1}{x^2}$をかけた方程式は，$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$を用いて，$t^2-[エ]t-[オ]=0$と表される．$4$次方程式$(*)$の解は$x=[カ] \pm [キ] \sqrt{[ク]}$，$[ケコ] \pm \sqrt{[サ]}$である．
(2)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個を並べて$3$桁の整数をつくる．このような整数は全部で$[シス]$個あり，このうち，偶数は$[セソ]$個，$9$の倍数は$[タ]$個ある．また，偶数でもなく$9$の倍数でもないものは$[チツ]$個ある．
国立 東北大学 2011年 第3問先生と3人の生徒A，B，Cがおり，玉の入った箱がある．箱の中には最初，赤玉3個，白玉7個，全部で10個の玉が入っている．先生がサイコロをふって，1の目が出たらAが，2または3の目が出たらBが，その他の目が出たらCが箱の中から1つだけ玉を取り出す操作を行う．取り出した玉は箱の中に戻さず，取り出した生徒のものとする．この操作を2回続けて行うものとして以下の問いに答えよ．\\
\quad ただし，サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．
(1)Aが2個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．
(2)Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．
\quad ただし，サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．
(1)Aが2個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．
(2)Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．
国立 東北大学 2011年 第3問先生と3人の生徒A，B，Cがおり，玉の入った箱がある．箱の中には最初，赤玉3個，白玉7個，全部で10個の玉が入っている．先生がサイコロをふって，1の目が出たらAが，2または3の目が出たらBが，その他の目が出たらCが箱の中
から1つだけ玉を取り出す操作を行う．取り出した玉は箱の中に戻さず，取り出した生徒のものとする．この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ．ただし，サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．
(1)2回目の操作が終わったとき，Aが2個の赤玉を手に入れている確率を求めよ．
(2)2回目の操作が終わったとき，Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れている確率を求めよ．
(3)3回目の操作で，Cが赤玉を取り出す確率を求めよ．
から1つだけ玉を取り出す操作を行う．取り出した玉は箱の中に戻さず，取り出した生徒のものとする．この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ．ただし，サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．
(1)2回目の操作が終わったとき，Aが2個の赤玉を手に入れている確率を求めよ．
(2)2回目の操作が終わったとき，Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れている確率を求めよ．
(3)3回目の操作で，Cが赤玉を取り出す確率を求めよ．
国立 小樽商科大学 2011年 第3問次の[ ]の中を適当に補いなさい．
(1)$m>0$とする．放物線$y=x^2$と放物線$y=x(m-x)$とで囲まれた図形の面積$S$を$m$で表せば，$S=[ ]$．
(2)$\cos 2\theta-\cos \theta+1$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば，$(M,\ m)=[ ]$．
(3)10段の階段を1段ずつ，1段飛ばし，2段飛ばしの3種類の登り方を自由に使って登ることができるものとする．このとき，10段を登る方法は全部で[ ]通りある．
(1)$m>0$とする．放物線$y=x^2$と放物線$y=x(m-x)$とで囲まれた図形の面積$S$を$m$で表せば，$S=[ ]$．
(2)$\cos 2\theta-\cos \theta+1$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば，$(M,\ m)=[ ]$．
(3)10段の階段を1段ずつ，1段飛ばし，2段飛ばしの3種類の登り方を自由に使って登ることができるものとする．このとき，10段を登る方法は全部で[ ]通りある．