「優勝国」について
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私立 同志社大学 2013年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[ ]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[ ]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[ ]$となる．
サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[ ]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[ ]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[ ]$となる．