$2$次関数$y=2x^2-(3k+1)x+k+5$，および$y=-x^2+(k+2)x+k-1$で表されるグラフを，それぞれ$C_1$，$C_2$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$C_1$，$C_2$が$2$つの異なる交点をもつような定数$k$の値の範囲を求めなさい．また，$k$がその範囲にあるとき，$2$つの交点を結ぶ線分の中点の$x$座標を求めなさい．
(2)$C_1$，$C_2$が$2$つの異なる交点をもち，これら$2$つの交点を通る直線の傾きが$3$となるときの$k$の値を求めなさい．

$m$を正の定数とし，放物線$C:y=x^2$上に点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$をとる．ただし，$\displaystyle \frac{m}{2}<a<m$とする．$\mathrm{P}$を通り傾きが$m$の直線を$\ell_1$，$\mathrm{P}$を通り傾きが$2m$の直線を$\ell_2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$を$a$と$m$を用いて表せ．
(2)$S_1$が$S_2$の$8$倍となるとき，$a$を$m$を用いて表せ．
(3)$a$を変化させたとき，$S_1+S_2$の最小値とそのときの$a$の値を$m$を用いて表せ．

傾き正の直線$\ell$が，$2$曲線
\[ C:y=-x^2+6x,\quad C^\prime:y=3x^2-14x+28 \]
の両方に接している．以下の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C$および$x$軸の$3$つで囲まれる図形の面積を求めよ．

曲線$y=f(x)=x^3-3x^2+x+6$を$C_1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$の接線で点$(-1,\ f(-1))$を通るもののうち，傾きの小さいものを$\ell_1$，傾きの大きいものを$\ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$g(x)$を$x$の$2$次式とし，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．曲線$C_2$が，曲線$C_1$と直線$\ell_1$の共有点および曲線$C_1$と直線$\ell_2$の共有点を通るとき，$g(x)$を求めよ．
(3)曲線$C_2$と直線$\ell_1,\ \ell_2$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=xe^{2-x}$について，次の問に答えよ．

(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=xe^{2-x}$について，次の問に答えよ．

(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

座標平面上の曲線$C$は媒介変数$t (t \geqq 0)$を用いて$x=t^2+2t+\log (t+1)$，$y=t^2+2t-\log (t+1)$と表される．$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における$C$の接線の傾きが$\displaystyle \frac{2e-1}{2e+1}$であるとする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を座標$(b,\ a)$の点とする．直線$\mathrm{PQ}$，直線$y=x$と曲線$C$で囲まれた図形を，直線$y=x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

関数
\[ f(x)=\int_{-a}^x (a-|t|) \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$x \leqq 0$と$x \geqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は負であり，点$\mathrm{A}$における曲線$y=f(x)$の接線の傾きが$-\sqrt{2}a$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{A}$を通って$x$軸に平行な直線と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\log t$，$\log 2t$とし，曲線$C$と直線$\ell,\ m$で囲まれた部分の面積を$S$とする．また，$\ell,\ m$の傾きをそれぞれ$\tan \alpha$，$\tan \beta$とする．ただし，$t>0$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\tan \alpha,\ \tan \beta$および$S$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$\beta-\alpha$が最大となるときの$t$の値を求めよ．

$\{a_n\},\ \{b_n\}$を${a_n}^2-b_n \geqq 0 (n=1,\ 2,\ \cdots)$となる数列とし，$3$次関数
\[ y=x^3+3a_nx^2+3b_nx+1 \]
のグラフの接線の傾きが$0$となる接点の$x$座標のうち小さくない方を$c_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\{a_n\},\ \{b_n\}$が$a_n=n$，$b_n=n^2$で与えられる数列のとき，$\{c_n\}$を求めよ．
(2)$\{b_n\}$を初項も公差も$0$である等差数列とする．このとき，$c_n=b_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$となるための条件を求めよ．
(3)$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ公比が$r$，$r^2$の等比数列とする．このとき，$\{c_n\}$が等比数列になるための条件を求めよ．
(4)$\{a_n\}$が初項$100$，公差$-3$の等差数列で，$\{b_n\}$は初項$396$，公差$-12$の等差数列のとき，$\{c_n\}$を求めよ．