「傾き」について
タグ「傾き」の検索結果
（4ページ目：全242問中31問～40問を表示）
国立 長崎大学 2015年 第1問放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$，$q$（ただし，$p<q$）とする．直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a=1$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$（ただし，$0<\theta_1<\pi$）を求めよ．
(3)$a=1$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$（ただし，$r<p$）とする．三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき，直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$（ただし，$0<\theta_2<\pi$）を求めよ．また，このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き，および直線$\mathrm{QR}$の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(4)$a=2$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる．三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a=1$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$（ただし，$0<\theta_1<\pi$）を求めよ．
(3)$a=1$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$（ただし，$r<p$）とする．三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき，直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$（ただし，$0<\theta_2<\pi$）を求めよ．また，このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き，および直線$\mathrm{QR}$の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(4)$a=2$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる．三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．
国立 長崎大学 2015年 第1問放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$，$q$（ただし，$p<q$）とする．直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a=1$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$（ただし，$0<\theta_1<\pi$）を求めよ．
(3)$a=1$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$（ただし，$r<p$）とする．三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき，直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$（ただし，$0<\theta_2<\pi$）を求めよ．また，このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き，および直線$\mathrm{QR}$の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(4)$a=2$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる．三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a=1$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$（ただし，$0<\theta_1<\pi$）を求めよ．
(3)$a=1$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$（ただし，$r<p$）とする．三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき，直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$（ただし，$0<\theta_2<\pi$）を求めよ．また，このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き，および直線$\mathrm{QR}$の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(4)$a=2$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる．三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第5問点$\mathrm{P}(0,\ 4)$を通る傾き$\displaystyle \frac{1}{5}$の直線を$\ell$とし，曲線$y=|x(x-4)|$を$C$とする．
(1)$\ell$と$C$の第$1$象限における交点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(2)$C$と線分$\mathrm{PQ}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$\ell$と$C$の第$1$象限における交点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(2)$C$と線分$\mathrm{PQ}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2015年 第5問$a$を定数とする．$2$曲線
$\displaystyle C_1:y=-\frac{3}{2} \cos 2x \quad (0<x<2\pi)$
$\displaystyle C_2:y=a \cos x-a-\frac{3}{4} \quad (0<x<2\pi)$
を考える．$C_1$と$C_2$は共有点をもち，ある共有点での$C_1$と$C_2$の接線は一致し，かつその傾きは$0$でないとする．次の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の概形を同一座標平面上にかけ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
$\displaystyle C_1:y=-\frac{3}{2} \cos 2x \quad (0<x<2\pi)$
$\displaystyle C_2:y=a \cos x-a-\frac{3}{4} \quad (0<x<2\pi)$
を考える．$C_1$と$C_2$は共有点をもち，ある共有点での$C_1$と$C_2$の接線は一致し，かつその傾きは$0$でないとする．次の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の概形を同一座標平面上にかけ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第3問座標平面上に関数$f(x)=x^2-2x+2-|2x-2|$を用いて表される曲線$C:y=f(x)$がある．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$m$を定数とする．点$(0,\ 1)$を通る傾き$m$の直線と曲線$C$の交点の数を求めよ．
(3)直線$y=a^2$と曲線$C$によって囲まれる領域のうち，$a^2 \leqq y \leqq f(x)$かつ$0 \leqq x \leqq 2$を満たす部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$m$を定数とする．点$(0,\ 1)$を通る傾き$m$の直線と曲線$C$の交点の数を求めよ．
(3)直線$y=a^2$と曲線$C$によって囲まれる領域のうち，$a^2 \leqq y \leqq f(x)$かつ$0 \leqq x \leqq 2$を満たす部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第3問座標平面上に関数$f(x)=x^2-2x+2-|2x-2|$を用いて表される曲線$C:y=f(x)$がある．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$m$を定数とする．点$(0,\ 1)$を通る傾き$m$の直線と曲線$C$の交点の数を求めよ．
(3)直線$y=a^2$と曲線$C$によって囲まれる領域のうち，$a^2 \leqq y \leqq f(x)$かつ$0 \leqq x \leqq 2$を満たす部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$m$を定数とする．点$(0,\ 1)$を通る傾き$m$の直線と曲線$C$の交点の数を求めよ．
(3)直線$y=a^2$と曲線$C$によって囲まれる領域のうち，$a^2 \leqq y \leqq f(x)$かつ$0 \leqq x \leqq 2$を満たす部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．
国立 和歌山大学 2015年 第4問放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$と点$\mathrm{P}(0,\ -4)$がある．直線$\ell,\ m,\ n$と点$\mathrm{Q}$を以下のように定める．
直線$\ell$は，$\mathrm{P}$から$C$に引いた接線のうち，傾きが正のものとし，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
直線$m$は，$\mathrm{Q}$を通り，$\ell$に垂直なものとする．
直線$n$は，$m$と$C$の$\mathrm{Q}$以外の交点を通り，$y$軸に平行なものとする．
次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)直線$m$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸および直線$n$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
直線$\ell$は，$\mathrm{P}$から$C$に引いた接線のうち，傾きが正のものとし，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
直線$m$は，$\mathrm{Q}$を通り，$\ell$に垂直なものとする．
直線$n$は，$m$と$C$の$\mathrm{Q}$以外の交点を通り，$y$軸に平行なものとする．
次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)直線$m$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸および直線$n$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2015年 第2問$e$を自然対数の底とする．$xy$平面上で，曲線$y=e^{2x}$の，点$(t,\ e^{2t})$における接線を$\ell_t$とし，点$(s,\ e^{2s})$における接線を$\ell_s$とする．$\ell_s$の傾きが$\ell_t$の傾きの$e$倍に等しいとする．
(1)$\ell_t$と$\ell_s$の交点の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\ell_s$を，$y$軸に関して対称移動して得られる直線を$L$とする．$L$と直線$x=t$との交点を$\mathrm{P}_t$とする．$\mathrm{P}_t$の$y$座標を$t$を用いて表せ．
(3)$a$を正の実数とする．$t$が$0 \leqq t \leqq a$の範囲を動くとき，$(2)$で定めた点$\mathrm{P}_t$が描く曲線を$C$とする．$C$と$x$軸および直線$x=a$とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$\ell_t$と$\ell_s$の交点の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\ell_s$を，$y$軸に関して対称移動して得られる直線を$L$とする．$L$と直線$x=t$との交点を$\mathrm{P}_t$とする．$\mathrm{P}_t$の$y$座標を$t$を用いて表せ．
(3)$a$を正の実数とする．$t$が$0 \leqq t \leqq a$の範囲を動くとき，$(2)$で定めた点$\mathrm{P}_t$が描く曲線を$C$とする．$C$と$x$軸および直線$x=a$とで囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2015年 第2問関数$f(x)=ax^2+bx+c$を用いて，関数$g(x)$が
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-ax^2+1 & \displaystyle\left( x<\frac{\sqrt{a}}{a} \right) \\
f(x) & \displaystyle\left( x \geqq \frac{\sqrt{a}}{a} \right) \phantom{\frac{[ ]^{\mkakko{}}}{2}}
\end{array} \right. \]
で定義されている．ただし，$a,\ b,\ c$は定数で，$a>0$とする．次の各問に答えなさい．
(1)関数$f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)曲線$C_1:y=f(x)$は点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{a}}{a},\ 0 \right)$を通り，この点における曲線$C_1$の接線の傾きは$-2 \sqrt{a}$であるとする．
(i) $b$を$a$の式で表しなさい．また，$c$の値を求めなさい．
(ii) 関数$g(x)$が$x=4$で極小になるように，$a$の値を定めなさい．
(3)曲線$C_2:y=g(x)$は$2$点$(2,\ -1)$，$(3,\ 0)$を通る．また，曲線$C_2$と直線$L:y=tx$で囲まれる部分の面積を$t$の関数として$S(t)$で表す．ただし，$a=1$，$0 \leqq t \leqq 2$とする．このとき，$S(t)$の導関数の値は正である．
(i) $b,\ c$の値をそれぞれ求めなさい．
(ii) $S(t)$の最小値を求めなさい．
(iii) $S(t)$が最大値をとるとき，曲線$C_2$と直線$L$のすべての交点の座標を求めなさい．また，$S(t)$の最大値を求めなさい．
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-ax^2+1 & \displaystyle\left( x<\frac{\sqrt{a}}{a} \right) \\
f(x) & \displaystyle\left( x \geqq \frac{\sqrt{a}}{a} \right) \phantom{\frac{[ ]^{\mkakko{}}}{2}}
\end{array} \right. \]
で定義されている．ただし，$a,\ b,\ c$は定数で，$a>0$とする．次の各問に答えなさい．
(1)関数$f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)曲線$C_1:y=f(x)$は点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{a}}{a},\ 0 \right)$を通り，この点における曲線$C_1$の接線の傾きは$-2 \sqrt{a}$であるとする．
(i) $b$を$a$の式で表しなさい．また，$c$の値を求めなさい．
(ii) 関数$g(x)$が$x=4$で極小になるように，$a$の値を定めなさい．
(3)曲線$C_2:y=g(x)$は$2$点$(2,\ -1)$，$(3,\ 0)$を通る．また，曲線$C_2$と直線$L:y=tx$で囲まれる部分の面積を$t$の関数として$S(t)$で表す．ただし，$a=1$，$0 \leqq t \leqq 2$とする．このとき，$S(t)$の導関数の値は正である．
(i) $b,\ c$の値をそれぞれ求めなさい．
(ii) $S(t)$の最小値を求めなさい．
(iii) $S(t)$が最大値をとるとき，曲線$C_2$と直線$L$のすべての交点の座標を求めなさい．また，$S(t)$の最大値を求めなさい．
国立 岩手大学 2015年 第5問$2$つの関数$f(x)=x^3+x^2-5x$，$g(x)=x^3-2x^2+ax+b$について，曲線$y=f(x)$を$C_1$，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b$は定数である．
関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．