$xy$平面上の長方形ABCDが次の条件(a)，(b)，(c)を満たしているとする．

\mon[(a)] 対角線ACとBDの交点は原点Oに一致する．
\mon[(b)] 直線ABの傾きは2である．
\mon[(c)] Aの$y$座標は，B，C，Dの$y$座標より大きい．

このとき，$a>0,\ b>0$として，辺ABの長さを$2\sqrt{5}a$，BCの長さを$2\sqrt{5}b$とおく．

(1)A，B，C，Dの座標を$a,\ b$で表せ．
(2)長方形ABCDが領域$x^2+(y-5)^2 \leqq 100$に含まれるための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

次の2つの曲線の両方に接する傾きが正の直線$\ell$が原点を通っているとする．
\begin{eqnarray}
& & y = mx^2+a \quad (m > 0,\ a > 0) \nonumber \\
& & y = nx^2+b \quad (n < 0,\ b < 0) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．

(1)$m,\ n,\ a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)曲線$y = mx^2+a$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，曲線$y = nx^2+b$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を$a,\ b$で表せ．

双曲線$x^2-y^2=1$の$x>0$の部分を$C$とする．$a$を正の定数とし，点P$\displaystyle (0,\ \frac{2}{a})$に最も近い$C$上の点をQとする．また，点R$(0,\ -a)$を通る直線が点Sで$C$に接している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Qの座標および直線PQの傾きを$a$を用いて表せ．
(2)点Sの座標および直線RSの傾きを$a$を用いて表せ．
(3)3点P，Q，Rを通る円の直径を$a$を用いて表せ．

3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が次の条件(i)，(ii)をみたしている．

\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．

このとき，次の問に答えよ．

(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．

3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が次の条件(i)，(ii)をみたしている．

\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．

このとき，次の問に答えよ．

(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．

座標平面上に点A$(0,\ 2)$と曲線$C:y=x^2$がある．
曲線$C$上に点P$(a,\ a^2) \ (1 \leqq a <2)$をとる．また，点Pを通り傾き1の直線と曲線$C$との交点のうち，点Pと異なる点をQとする．$\triangle$PAQの面積を$S$とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)$S$を，$a$を用いて表せ．
(2)$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)直線PQと曲線$C$で囲まれる部分の面積が，$S$と等しくなる$a$の値を求めよ．

$xy$平面における原点Oと点A$(3,\ 2)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)傾きが$\displaystyle \frac{4}{3}$で，点Aを通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた直線$\ell$の点Aにおける法線を$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．
(3)(1)で求めた直線$\ell$と$x$軸との交点をB，(2)で求めた直線$m$と$y$軸との交点をCとする．図形OBACを$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

座標平面上の放物線$y=(x+1)(x-3)$を$C$とする．$x$座標が$p,\ q$である$C$上の点P，Qにおける$C$の2つの接線が点A$(a,\ -7)$で交わり，2点P，Qを通る直線の傾きは2である．ただし，$p<q$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$の値と点Pと点Qの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$C$および3つの直線$x=p,\ x=q,\ y=-7$で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[　]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[　]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[　]$．

原点を中心とし半径$1$の円を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を通り傾き$\displaystyle \frac{1}{2}$の直線を$\ell$とする．$C$と$\ell$の交点のうち，点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{P}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$と$45^\circ$の角度で交わる$2$本の直線の方程式を求めなさい．さらに，この$2$本の直線を図示しなさい．