関数$f(x)=|x^2-4|$と$y$軸上の点$\mathrm{C}(0,\ 8)$を通る傾きが$k$である直線$\ell$について，以下の問に答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)直線$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle S(a)=\int_{-a}^a f(x) \, dx$とするとき，$S(2)$と$S(3)$を求めよ．

(3)$k=0$であるとき，直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(4)$k=4$であるとき，直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(5)$k$が範囲$0<k<4$にあるときの直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を$k$を用いて表せ．

$a$を正の定数とする．座標平面上において，曲線$\displaystyle y=\frac{2}{\sqrt{x}} \cdots\cdots①$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(a,\ \frac{2}{\sqrt{a}})$における接線を$\ell$とする．

(1)接線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{[ア]}{a \sqrt{a}}x+\frac{[イ]}{\sqrt{a}}$と表される．
(2)接線$\ell$が点$(2,\ 1)$を通るとすると，$a$は条件$a \sqrt{a}=[ウ]a-[エ]$を満たす．これより$a=[オ]$，$[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}$である．
(3)$a=[オ]$のとき，接点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ケ]$であり，接線$\ell$の傾きは$[コサ]$である．このとき，曲線$①$と接線$\ell$および直線$x=2$によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[シ] \sqrt{[ス]}-[セソ]}{[タ]}$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$の値は$[$①$]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \comb{n}{k}$を計算すると$[$②$]$となる．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$t$を実数とする．どのような$t$の値に対しても，点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \cos t,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\ \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}} \right)$は原点を中心とする半径$[$③$]$の球面上にある．また，実数$s$に対して，点$\mathrm{Q}(0,\ s,\ -s)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}=0$となるような$s$の値は$s=0$と$s=[$④$]$である．
(4)媒介変数表示
\[ x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,\quad y=3^t-3^{-t} \]
で表される図形は，$x,\ y$についての方程式$[$⑤$]=1$で定まる双曲線$C$の$x>0$の部分である．また，$C$の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は$y=[$⑥$]$である．
(5)$\theta$の関数$\displaystyle \sin \theta \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)$は，定数$a,\ b$を用いて$a \sin^3 \theta+b \sin \theta$と表すことができる．$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$[$④chi$]$である．
(6)無限級数の和として定義される関数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\cdots \]
について，$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$の値は$[$\maruhachi$]$である．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$を$C$とする．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を通り，傾き$-m (0<m<1)$の直線と曲線$C$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$の座標，および線分$\mathrm{AB}$の長さ$l$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と曲線$C$によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$m \to +0$のとき，$\displaystyle \frac{S}{l}$の極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$であることを用いてよい．

放物線$C:y=-x^2+ax$上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$を通り，傾きが$-1$の直線を$\ell$とする．ただし，$a$は定数で，$a>1$とする．

(1)$C$と$\ell$の共有点のうち，点$\mathrm{A}$とは異なる点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．また，曲線$C_1:y=-x^2+ax (0 \leqq x \leqq 1)$について，$C_1$，$\ell$および$y$軸によって囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S=S_1-S_2$とする．$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

$xy$平面において，不等式$x^2+y^2 \leqq 1$の表す領域を$D_1$とし，整数$k$に対して連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq 2x+k+2 \\
y \geqq 2x+k-5
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D_2$とする．

(1)円$x^2+y^2=1$の接線で，傾きが$2$のものをすべて求めよ．
(2)領域$D_1$が領域$D_2$に含まれるような$k$をすべて求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$xy$平面上の円$x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．ただし，$-\pi<\theta<\pi$とする．直線$\mathrm{AP}$の傾きを$t$としたとき，$\cos \theta$と$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$-\pi<\theta \leqq \pi$とする．$\theta$の関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1+\cos \theta}{3 \cos \theta-2 \sin \theta+5}$の最大値と最小値，またそのときの$\theta$の値を求めよ．

以下の問の$[$40$]$～$[$49$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

$y=|f(x)|$のグラフと$2$直線$\ell,\ m$に囲まれた部分の面積を考える．ただし$f(x)$は，等式
\[ f(x)=\frac{1}{4}x^2+\frac{15}{4} \int_{-2}^0 xf(t) \, dt-\frac{4}{3} \int_{-3}^3 \{f(t)+6\} \, dt \]
を満たし，直線$\ell$は$y=|f(x)|$の$x=8$における接線である．また直線$m$は，直線$\ell$と$y=|f(x)|$の交点と点$(1,\ 3)$の$2$点を通る，傾き負の直線である．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{[$40$]}{[$41$]}x^2-[$42$]x-[$43$]$である．

(2)直線$m$の方程式は$y=-[$44$]x+[$45$]$である．
(3)$y=|f(x)|$のグラフと$2$直線$\ell,\ m$に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$46$][$47$][$48$]}{[$49$]}$である．

次の文章内の$[ア]$～$[コ]$に適当な式または数値を入れよ．ただし，$[ク]$～$[コ]$はそれぞれ$3$つの自然数の組である．

(1)$xy$平面上で，点$(-1,\ 0)$を通る傾き$t$の直線を考える．この直線が円$x^2+y^2=1$と点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）で交わるとき，$y$は$t$と$x$で，
\[ y=[ア] (ⅰ) \]
のように表される．この式を円の方程式$x^2+y^2=1$に代入して，$x$に関する$2$次方程式$[イ]=0$を得る．
この方程式を解いて，
\[ x=[ウ] (ⅱ) \]
を得る．また，式$(ⅰ)$から，
\[ y=[エ] (ⅲ) \]
となる．ただし，$t$の範囲は$0<t<[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=1$上の点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）の各座標がともに有理数であるとき，式$(ⅰ)$より$t$は有理数である．よって，$m,\ n$（ただし，$m>n$）を互いに素な自然数として$\displaystyle t=\frac{n}{m}$と表せば，式$(ⅱ)$，$(ⅲ)$より点$(x,\ y)$は
\[ x=\frac{[カ]}{m^2+n^2},\quad y=\frac{[キ]}{m^2+n^2} \]
と表される．
(3)等式$a^2+b^2=c^2$が成り立つような$3$つの自然数の組$(a,\ b,\ c)$（ただし，$a<b$）で，$a,\ b,\ c$の最大公約数が$1$，かつ$a<9$である組は
$(a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ [ク],\ [ケ],\ [コ]$の$4$つである．

$e$は自然対数の底とする．$f(x)=x \log x$（$x>0,\ \log x$は$x$の自然対数）とおく．$t>e$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$における接線の傾きが$\log t$となるとき，$\mathrm{A}$の$x$座標$a(t)$を求めなさい．
(2)$x \geqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a(t)$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t \to \infty$のとき，$\displaystyle \frac{S(t)}{t^p \log t}$が$0$でない値に収束するような正の定数$p$の値を求めなさい．また，そのときの$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t^p \log t}$を求めなさい．