曲線$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$と，正の定数$m$がある．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)傾きが$m$となる$C$の接線を$2$本求めなさい．
(2)直線$y=mx$と$C$の交点の座標を$\mathrm{P}$および$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$それぞれの座標を求めなさい．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は正の値とする．
(3)$(1)$で求めた$2$本の接線および，$(2)$の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$それぞれにおける$C$の接線とで囲まれた図形の面積を求めなさい．

$x$-$y$平面の双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の相異なる$3$点を，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，その$x$座標を，それぞれ，$a,\ b,\ c$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)空欄にあてはまる数式を求め，答のみ解答欄に記入せよ．

直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の傾きは$[ア]$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の$x,\ y$座標を$a,\ b,\ c$を用いて表すと，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．よって，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が双曲線上を動くとき，$\mathrm{H}$の軌跡は$x,\ y$の関係式$[エ]$で表され，$\mathrm{H}$はこの関係式で表される図形上のすべての点を動く．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．

(i) $\mathrm{P}$の座標$x,\ y$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(ii) $a,\ b,\ c$が，$a+b=0$，$c=1$を満たすとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求め，その軌跡を解答欄の$x$-$y$平面に図示せよ．

$xy$平面上において，原点を通り傾きが正の直線を$\ell$とする．直線$\ell$上の$y$座標が$1$の点に，$x$軸の正の方向から$x$軸に平行な光線を入射したとき，光線は直線$\ell$と$x$軸で次々と反射を繰り返し，$n$回目に反射した後，入射した経路を逆に進んだとする．このときの直線$\ell$と$x$軸とのなす角を$\theta$とする．直線$\ell$での最初の反射を$1$回目，反射した点を$\mathrm{P}_1$とし，その後光線が反射した点を$\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$とする．また，$0^\circ<\theta<{90}^\circ$とする．

(1)$\theta={30}^\circ$のときの$\mathrm{P}_n$の座標は$[$4$]$である．
(2)$\theta$のうち，その値が整数となるものは全部で$[$5$]$個ある．
(3)$\mathrm{P}_1$から$\mathrm{P}_n$までの光の経路の長さは$[$6$]$である．

放物線$p_1:y=x^2-4x+5$と，その上の点$\mathrm{P}(4,\ 5)$を考える．

(1)傾きが$-2$で，放物線$p_1$に接する直線$\ell$の方程式は
\[ y=-2x+[$17$] \]
であり，放物線$p_1$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標は$([$18$],\ [$19$])$である．
(2)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通り，頂点の$y$座標が$6$であるような放物線の方程式は
\[ y=-x^2+[$20$]x-[$21$] \]
または
\[ y=-\frac{1}{[$22$]}(x^2-[$23$][$24$]x-[$25$]) \]
である．
$(2)$で求めた放物線のうち，方程式$y=-x^2+[$20$]x-[$21$]$で定まるものを$p_2$とし，放物線$p_2$の頂点を$\mathrm{R}$とする．
(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\sqrt{[$26$][$27$]}}{[$28$][$29$]}$であり，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は$[$30$]$である．
(4)$2$つの放物線$p_1$と$p_2$で囲まれた図形の面積は$[$31$]$である．

曲線$\displaystyle C:y=(\log x)^2+\frac{3}{4} (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx},\ \frac{d^2y}{dx^2}$を求めよ．また，$\displaystyle \frac{dy}{dx}>0$となる$x$の範囲を求めよ．
(2)曲線$C$の接線で原点$(0,\ 0)$を通るものを求めよ．
(3)曲線$C$の概形と$(2)$で求めた接線を描け．
(4)$(2)$で求めた接線の中で傾きが最大のものと曲線$C$との接点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(5)$(4)$で求めた点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$[ツ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

区間$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{2}{3} \pi$を定義域とする関数$f(\theta)=2 \sin^2 \theta+4 \sin \theta \cos \theta+4 \cos^2 \theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$は次の形に変形できる．
\[ f(\theta)=\sqrt{[ア]} \sin (2\theta+\alpha)+[イ] \]
ただし，$\alpha$は$\displaystyle \tan \alpha=\frac{[ウ]}{[エ]}$を満たし，$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{[オ]}-[カ]$が成り立つ．
(2)$f(\theta)$は，$\displaystyle \theta=\frac{[キ]}{[ク]} \pi$のとき最小値$\displaystyle [ケ] \sqrt{[コ]}+\frac{[サ]}{[シ]}$をとり，
\[ \tan \theta=\frac{\sqrt{[ス]}-[セ]}{[ソ]} \]
を満たす$\theta$において最大値$\sqrt{[タ]}+[チ]$をとる．
(3)$k$を正の定数とすると，方程式$\displaystyle x^2+xy+\frac{1}{2}y^2=k$で表される図形は$[ツ]$である．この曲線と，
\[ x^2+y^2=4,\quad -1 \leqq x \leqq \sqrt{3},\quad y>0 \]
で表わされる弧が接するように$k$を定めると，$2$つの曲線の共通接線の傾きは$\displaystyle \frac{-\sqrt{[テ]}-[ト]}{[ナ]}$となる．

$[ツ]$の解答群
\[ ① \text{円} \qquad ② \text{放物線} \qquad ③ \text{楕円} \qquad ④ \text{双曲線} \]

次の文中の$[ア]$～$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

曲線$C$を$y=x^2-6x+13$とし，曲線$C$の接線で点$(p,\ 0)$を通るものを考える．接点の$x$座標を$\alpha$とすると，接線の傾きは$[ア] \alpha+[イ]$，接点の座標は$(\alpha,\ [ウ] \alpha^2+[エ] \alpha+[オ][カ])$であるから，接線の方程式は，
\[ y=([ア] \alpha+[イ])x+[キ] \alpha^2+[ク] \alpha+[ケ][コ] \]
と表される．この直線が点$(p,\ 0)$を通ることから$\alpha$は次の$2$次方程式
\[ \alpha^2+[サ]p \alpha+[シ]p+[ス][セ]=0 \]
を満たす．この方程式は$2$つの解を持つから接線は$2$本存在し，傾きが正である接線の方程式は，
\[ y=[ソ] \left( p+[タ]+\sqrt{p^2+[チ]p+[ツ][テ]} \right) (x+[ト]p) \]
と表される．
任意の$x$における曲線$C$の$y$座標と接線の$y$座標の差は，両者が$x=\alpha$で接しているので，
\[ (x-\alpha)^2 \]
と書ける．これを用いると，曲線$C$と$2$本の接線で囲まれた部分の面積$S$は，
\[ S=\frac{[ナ]}{[ニ]} \left( p^2+[チ]p+[ツ][テ] \right)^{\frac{[ヌ]}{[ネ]}} \]
である．$p$を変化させるとき，$S$は$p=[ノ]$で最小値$\displaystyle \frac{[ハ][ヒ]}{[フ]}$をとる．

$x$の$2$次関数$y=x^2-(2a^2-4a)x+a^4-4a^3+3a^2+1$のグラフについて，次の問いに答えよ．ただし，$a$は$0<a<2$を満たす実数とする．

(1)頂点の座標を求めよ．
(2)頂点が直線$y=-x$上にあるような$a$の値を求めよ．
(3)原点と頂点を通る直線の傾きの絶対値が$1$以上となるような$a$の値の範囲を求めよ．

座標平面において，放物線$C:y=-x^2+3x$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$で囲まれた領域を$S$とする．ただし，$S$は境界線を含むものとする．

(1)$C$と$\ell$の共有点は，原点$\mathrm{O}$と点$\displaystyle \left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ \frac{[タ]}{[チ]} \right)$である．
(2)点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$を通り傾きが$a$の直線$m$が，領域$S$と共有点をもつとする．このとき，$a$の範囲は
\[ [ツ] \leqq a \leqq [テ]+[ト] \sqrt{[ナ]} \]
である．
(3)$a=[テ]+[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき，直線$m$と領域$S$の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ニ]+\sqrt{[ヌ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ネ]+[ノ] \sqrt{[ハ]}$である．
(5)線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{PQ}$および放物線$C$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[ヒ]}{[フ]}+\frac{[ヘ]}{[ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．

座標平面上に放物線$\displaystyle y=x^2+\frac{1}{16}$と円$x^2+y^2-3y+1=0$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)円の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円の中心と円周上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{2} \right)$を通る直線の傾きを求めよ．
(3)円周上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{2} \right)$における円の接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$で求めた接線と放物線のすべての交点の座標を求めよ．
(5)$(3)$で求めた接線と放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．