実数全体を定義域とする関数$f(x)$は奇関数で微分可能であるとする．さらに，$f^\prime(x)$も微分可能で$f^\prime(0)=0$を満たし，$x>0$の範囲で$f^{\prime\prime}(x)>0$であるとする．$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$C_1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$f(a)$だけ平行移動した曲線を$C_2$とする．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$f(0)$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$は偶関数であることを示せ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$2$個であることを示し，その$2$点の$x$座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$0<a \leqq 3$の範囲を動くとき，$S(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．

$e$で自然対数の底を表す．関数$f(x)$を
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+e}) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$を微分せよ．また$f^\prime(x)$が偶関数であることを示せ．
(2)定積分
\[ \int_{-1}^1 f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \]
を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_{-1}^1 x^{2n} f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$n$を$2$以上とするとき，$a_n$と$a_{n-1}$の間に成り立つ関係式を求めよ．