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私立 津田塾大学 2015年 第3問$n$を正の偶数とする．次の条件をみたす整数解$(x,\ y)$の個数を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
y \leqq \displaystyle -\frac{1}{2}x+n \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
y \leqq \displaystyle -\frac{1}{2}x+n \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
私立 立教大学 2015年 第3問次の条件を満たす数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=4,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2} \{3+(-1)^n\}a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問に答えよ．
(1)奇数番目の項のみからなる数列を$\{b_n\}$，偶数番目の項のみからなる数列を$\{c_n\}$とする．つまり，$b_n=a_{2n-1}$，$c_n=a_{2n}$とする．$b_{n+1}$，$c_n$，$b_n$が次の関係式を満たすとき，定数$A,\ B,\ C,\ D$の値をそれぞれ求めよ．
\[ \begin{array}{r}
b_{n+1}=Ac_n+B \\
\phantom{\frac{[ ]}{2}} c_n=Cb_n+D
\end{array} \qquad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
(2)$(1)$において$c_n$を消去し，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$2k$項までの和$S_{2k}$を$k$を用いて表せ．
\[ a_1=4,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2} \{3+(-1)^n\}a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問に答えよ．
(1)奇数番目の項のみからなる数列を$\{b_n\}$，偶数番目の項のみからなる数列を$\{c_n\}$とする．つまり，$b_n=a_{2n-1}$，$c_n=a_{2n}$とする．$b_{n+1}$，$c_n$，$b_n$が次の関係式を満たすとき，定数$A,\ B,\ C,\ D$の値をそれぞれ求めよ．
\[ \begin{array}{r}
b_{n+1}=Ac_n+B \\
\phantom{\frac{[ ]}{2}} c_n=Cb_n+D
\end{array} \qquad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
(2)$(1)$において$c_n$を消去し，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$2k$項までの和$S_{2k}$を$k$を用いて表せ．
私立 上智大学 2015年 第2問$N$を$2$以上の整数とする．整数$a,\ b$に対し，演算$\oplus$を
\[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \]
と定める．例えば，$N=2$のとき，
\[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \]
である．
(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(i) $N=4$のとき，$a_3=[ヌ]$である．
(ii) $N \geqq 4$とする．
$N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=\frac{[ネ]}{[ノ]}N+[ハ]$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=[ヒ]$である．
(iii) $N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ]$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=[マ]$である．
(2)$N$を偶数とし，$N=2M$と表す．ただし，$M$は自然数である．次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える．
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_M=0$となる必要十分条件は，$N$が$[ミ]$の倍数となることである．
$N$が$[ミ]$の倍数でない偶数のとき，$\displaystyle b_M=\frac{[ム]}{[メ]}N$である．
\[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \]
と定める．例えば，$N=2$のとき，
\[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \]
である．
(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(i) $N=4$のとき，$a_3=[ヌ]$である．
(ii) $N \geqq 4$とする．
$N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=\frac{[ネ]}{[ノ]}N+[ハ]$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=[ヒ]$である．
(iii) $N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ]$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=[マ]$である．
(2)$N$を偶数とし，$N=2M$と表す．ただし，$M$は自然数である．次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える．
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_M=0$となる必要十分条件は，$N$が$[ミ]$の倍数となることである．
$N$が$[ミ]$の倍数でない偶数のとき，$\displaystyle b_M=\frac{[ム]}{[メ]}N$である．
私立 上智大学 2015年 第2問赤いカードと青いカードが$10$枚ずつあり，それぞれ$0$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれている．これら$20$枚から数枚を選ぶときの選び方に関する次の条件$P$を考える．
$P$：選んだカードのうち，赤いカードに書かれた数字はすべて偶数である．
(1)$P$であるための必要十分条件を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
(2)$P$の否定を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
選択肢：
\mon[$\mathrm{A}$] 選んだカードのうち，青いカードに書かれた数字はすべて奇数である．
\mon[$\mathrm{B}$] 選んだカードのうち，奇数が書かれたカードはすべて青い．
\mon[$\mathrm{C}$] 選んだカードのうち，偶数が書かれたカードはすべて赤い．
\mon[$\mathrm{D}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{E}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{F}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードは存在しない．
\mon[$\mathrm{G}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードは存在しない．
$P$：選んだカードのうち，赤いカードに書かれた数字はすべて偶数である．
(1)$P$であるための必要十分条件を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
(2)$P$の否定を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
選択肢：
\mon[$\mathrm{A}$] 選んだカードのうち，青いカードに書かれた数字はすべて奇数である．
\mon[$\mathrm{B}$] 選んだカードのうち，奇数が書かれたカードはすべて青い．
\mon[$\mathrm{C}$] 選んだカードのうち，偶数が書かれたカードはすべて赤い．
\mon[$\mathrm{D}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{E}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{F}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードは存在しない．
\mon[$\mathrm{G}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードは存在しない．
私立 名城大学 2015年 第1問次の問について，答えを$[ ]$内に記入せよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$2 \sin^2 x+\sin 2x$は$x=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)$1$から$9$までの数を$1$つずつ書いた$9$枚の札の中から，同時に$3$枚を引く．その$3$枚の札の数の積が，偶数になる確率は$[ウ]$であり，$6$の倍数になる確率は$[エ]$である．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$2 \sin^2 x+\sin 2x$は$x=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)$1$から$9$までの数を$1$つずつ書いた$9$枚の札の中から，同時に$3$枚を引く．その$3$枚の札の数の積が，偶数になる確率は$[ウ]$であり，$6$の倍数になる確率は$[エ]$である．
私立 西南学院大学 2015年 第5問以下の問に答えよ．
(1)$m$を整数とするとき，$m^2$が偶数ならば，$m$は偶数であることを証明せよ．
(2)$\sqrt{2}$が無理数であることを証明せよ．
(1)$m$を整数とするとき，$m^2$が偶数ならば，$m$は偶数であることを証明せよ．
(2)$\sqrt{2}$が無理数であることを証明せよ．
私立 山口東京理科大学 2015年 第3問$1$個のさいころを続けて$3$回投げる．
(i) 出る目の数がすべて異なる確率を考える．出る目の数がすべて異なる場合は$[カ][キ][ク]$通りであることから，出る目の数がすべて異なる確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．
(ii) 出る目の数の積が偶数になる確率を考える．$1$回も偶数が出ない場合は$[サ][シ]$通りであり，また，$1$回でも偶数が出ると積は偶数になる．これより，出る目の数の積が偶数になる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$である．
(i) 出る目の数がすべて異なる確率を考える．出る目の数がすべて異なる場合は$[カ][キ][ク]$通りであることから，出る目の数がすべて異なる確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．
(ii) 出る目の数の積が偶数になる確率を考える．$1$回も偶数が出ない場合は$[サ][シ]$通りであり，また，$1$回でも偶数が出ると積は偶数になる．これより，出る目の数の積が偶数になる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$である．
私立 東京理科大学 2015年 第1問$[ ]$内に$0$から$9$までの数字を$1$つずつ入れよ．
(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．
(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．
ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．
(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．
(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．
(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．
(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．
ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．
(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．
(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．
私立 東京理科大学 2015年 第5問$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ 3$に対して，次の条件$\mathrm{P}_k$を考える．
$\mathrm{P}_k: \quad k \leqq r \leqq n-k$を満たすすべての自然数$r$に対して，$\comb{n}{r}$は偶数である．
(1)$2 \leqq n \leqq 20$，$k=1$とする．$\mathrm{P}_1$を満たす$n$は全部で$[ア]$個ある．このうち，最大のものは$[イ][ウ]$である．
(2)$4 \leqq n \leqq 1000$，$k=2$とする．$\mathrm{P}_2$を満たす$n$は全部で$[エ][オ]$個ある．このうち，最大のものは$[カ][キ][ク]$である．
(3)$6 \leqq n \leqq {10}^{16}$，$k=3$とする．$\mathrm{P}_3$を満たす$n$は全部で$[ケ][コ][サ]$個ある．
（注意：$0.3010<\log_{10}2<0.3011$）
$\mathrm{P}_k: \quad k \leqq r \leqq n-k$を満たすすべての自然数$r$に対して，$\comb{n}{r}$は偶数である．
(1)$2 \leqq n \leqq 20$，$k=1$とする．$\mathrm{P}_1$を満たす$n$は全部で$[ア]$個ある．このうち，最大のものは$[イ][ウ]$である．
(2)$4 \leqq n \leqq 1000$，$k=2$とする．$\mathrm{P}_2$を満たす$n$は全部で$[エ][オ]$個ある．このうち，最大のものは$[カ][キ][ク]$である．
(3)$6 \leqq n \leqq {10}^{16}$，$k=3$とする．$\mathrm{P}_3$を満たす$n$は全部で$[ケ][コ][サ]$個ある．
（注意：$0.3010<\log_{10}2<0.3011$）
私立 東京理科大学 2015年 第1問次の$[ ]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
(1)$\displaystyle f(x)=4x^4+8x^3+3x^2-2x+\frac{1}{4}$，$\displaystyle g(x)=4x^4-8x^3+3x^2+2x+\frac{1}{4}$で定められる関数に対して，
$f(x)$は$\displaystyle x=-\frac{[ア]}{[イ]}+\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}-\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{3}$をとり，
$g(x)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}-\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}-\frac{[テ]}{[ト]} \sqrt{3}$をとる．
(2)$a$を正の実数とし，座標平面上の$2$曲線$\displaystyle B_1:y={\left( \frac{a}{\pi} x \right)}^2$と$B_2:y=\sin x$の$0<x<\pi$における交点の$x$座標を$t$，$0 \leqq x \leqq t$において$2$曲線で囲まれた領域の面積を$S$とすると，
\[ S=[ナ]-\frac{[ニ]}{[ヌ]}t \sin t-[ネ] \cos t \]
である．
$a=2$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]} \pi$である．
$0<a \leqq 2$に対して$S$がとり得る値の範囲は
\[ [ヒ]-\frac{[フ]}{[ヘ]} \pi \leqq S<[ホ] \]
である．
(3)空調のある$1$号室，$2$号室，$3$号室は電力事情により，同時に$1$部屋しか空調の電源をオンにできない．最初は$1$号室の電源をオンにすることにし，それ以降は$1$時間ごとに大小の$2$つの公平なさいころをふって，どの部屋の電源をオンにするかを以下のように決める．
\begin{itemize}
大きい方のさいころの目が奇数ならば，小さい方の目にかかわらず同じ部屋の電源をオンにしたままとする．
大きい方のさいころの目が偶数ならば，残りの$2$つの部屋のどちらか一方の電源をオンにする．その際，小さい方のさいころの目が奇数ならば，番号の小さい部屋の電源，偶数ならば番号の大きい方の電源をオンにする．
\end{itemize}
自然数$n$に対して，$1$号室の電源を最初にオンにした時から$n$時間後に，$1$号室の空調の電源をオンにする確率を$a_n$，$2$号室の空調の電源をオンにする確率を$b_n$，$3$号室の空調の電源をオンにする確率を$c_n$とする．
(i) $\displaystyle a_1=\frac{[マ]}{[ミ]}$，$\displaystyle b_1=\frac{[ム]}{[メ]}$，$\displaystyle c_1=\frac{[モ]}{[ヤ]}$である．
すべての自然数$n$に対して以下が成り立つ．
(ii) $a_n+b_n+c_n=[ユ]$
(iii) $\displaystyle a_{n+1}=\frac{[ヨ]}{[ラ]}a_n+\frac{[リ]}{[ル]}b_n+\frac{[リ]}{[ル]}c_n$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle a_n=\frac{[レ]}{[ロ]} {\left( \frac{[ワ]}{[ヲ]} \right)}^n+\frac{[ン]}{[あ]}$
$\displaystyle b_n=-\frac{[い]}{[う]} {\left( \frac{[え]}{[お]} \right)}^n+\frac{[か]}{[き]}$
$\displaystyle c_n=-\frac{[く]}{[け]} {\left( \frac{[こ]}{[さ]} \right)}^n+\frac{[し]}{[す]}$
(1)$\displaystyle f(x)=4x^4+8x^3+3x^2-2x+\frac{1}{4}$，$\displaystyle g(x)=4x^4-8x^3+3x^2+2x+\frac{1}{4}$で定められる関数に対して，
$f(x)$は$\displaystyle x=-\frac{[ア]}{[イ]}+\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}-\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{3}$をとり，
$g(x)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}-\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}-\frac{[テ]}{[ト]} \sqrt{3}$をとる．
(2)$a$を正の実数とし，座標平面上の$2$曲線$\displaystyle B_1:y={\left( \frac{a}{\pi} x \right)}^2$と$B_2:y=\sin x$の$0<x<\pi$における交点の$x$座標を$t$，$0 \leqq x \leqq t$において$2$曲線で囲まれた領域の面積を$S$とすると，
\[ S=[ナ]-\frac{[ニ]}{[ヌ]}t \sin t-[ネ] \cos t \]
である．
$a=2$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]} \pi$である．
$0<a \leqq 2$に対して$S$がとり得る値の範囲は
\[ [ヒ]-\frac{[フ]}{[ヘ]} \pi \leqq S<[ホ] \]
である．
(3)空調のある$1$号室，$2$号室，$3$号室は電力事情により，同時に$1$部屋しか空調の電源をオンにできない．最初は$1$号室の電源をオンにすることにし，それ以降は$1$時間ごとに大小の$2$つの公平なさいころをふって，どの部屋の電源をオンにするかを以下のように決める．
\begin{itemize}
大きい方のさいころの目が奇数ならば，小さい方の目にかかわらず同じ部屋の電源をオンにしたままとする．
大きい方のさいころの目が偶数ならば，残りの$2$つの部屋のどちらか一方の電源をオンにする．その際，小さい方のさいころの目が奇数ならば，番号の小さい部屋の電源，偶数ならば番号の大きい方の電源をオンにする．
\end{itemize}
自然数$n$に対して，$1$号室の電源を最初にオンにした時から$n$時間後に，$1$号室の空調の電源をオンにする確率を$a_n$，$2$号室の空調の電源をオンにする確率を$b_n$，$3$号室の空調の電源をオンにする確率を$c_n$とする．
(i) $\displaystyle a_1=\frac{[マ]}{[ミ]}$，$\displaystyle b_1=\frac{[ム]}{[メ]}$，$\displaystyle c_1=\frac{[モ]}{[ヤ]}$である．
すべての自然数$n$に対して以下が成り立つ．
(ii) $a_n+b_n+c_n=[ユ]$
(iii) $\displaystyle a_{n+1}=\frac{[ヨ]}{[ラ]}a_n+\frac{[リ]}{[ル]}b_n+\frac{[リ]}{[ル]}c_n$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle a_n=\frac{[レ]}{[ロ]} {\left( \frac{[ワ]}{[ヲ]} \right)}^n+\frac{[ン]}{[あ]}$
$\displaystyle b_n=-\frac{[い]}{[う]} {\left( \frac{[え]}{[お]} \right)}^n+\frac{[か]}{[き]}$
$\displaystyle c_n=-\frac{[く]}{[け]} {\left( \frac{[こ]}{[さ]} \right)}^n+\frac{[し]}{[す]}$