平均値と中央値は共に代表値であり，求め方は全く異なるが比較的近い値であることが多い．いま，偶数個の身長のデータがあり，その最小値は$m=140 \, \mathrm{cm}$，最大値は$M=180 \, \mathrm{cm}$である．このデータの中央値が$A=150 \, \mathrm{cm}$のとき，半数のデータは$m$以上$A$以下の値であり，残る半数のデータは$A$以上$M$以下である．このことから平均値$\overline{x}$のとる値の範囲は$[　]$である．また，平均値と中央値の関係を用いると，最小値が$m=140 \, \mathrm{cm}$，最大値が$M=180 \, \mathrm{cm}$である偶数個のデータの平均値が$\overline{x}=170 \, \mathrm{cm}$であるとき，中央値$A$の取る値の範囲は$[　]$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$4$次方程式$x^4-x^3+ax^2+bx+2=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，係数$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[　]$である．また，この方程式の他の解を求めると，$[　]$である．
(2)袋の中に$1$から$13$までの数が$1$つずつ書かれた$13$個の玉が入っている．この袋の中から，$2$個の玉を同時にとり出す．このとき，とり出した玉に書かれた$2$つの数の和が偶数になる確率は$[　]$である．また，とり出した玉に書かれた数がどちらも$10$以下であったとき，数の和が偶数である条件付き確率は$[　]$である．
(3)$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{C}(4,\ -5,\ 1)$がある．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めると$\cos \theta=[　]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のゲームを行う．$1$から$6$までの数が$1$つずつ記入された$6$枚のカードがあり，そのうち$\mathrm{A}$は奇数の書かれた$3$枚のカードを，$\mathrm{B}$は偶数の書かれた$3$枚のカードを持っている．

$2$人が，それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び，同時に出す．このとき大きい数を出した方を勝ちとする．
この勝負を，$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う．

(1)$1$回目の勝負で，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい．

以下の各問いに答えなさい．

(1)「実数」は，「実数」と「実数」に$3$つの演算（加法・減法・乗法）を行った場合，再び「実数」になる．同じように，同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が，再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい．

有理数，自然数，整数

(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい．

(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$

(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい．

(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$

(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい．

「$n+1$が偶数ならば，$n$は奇数」

$4$個のさいころを同時に投げて出た目をそれぞれ$A,\ B,\ C,\ D$で表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A+B+C+D$が偶数である確率を求めよ．
(2)$AB+CD$が偶数である確率を求めよ．
(3)$ABC+BCD$が$5$の倍数である確率を求めよ．
(4)$ABCD$が$10$の倍数である確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)大中小$3$つのさいころを投げるとき，出る$3$つの目の積が偶数となる場合は何通りあるか．
(2)$1$から$25$までの整数が$1$つずつ書かれた$25$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．

(i) $2$枚のカードをもとに戻さず順に取り出すとき，$2$枚目が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(ii) $2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの整数の和が$5$の倍数になる確率を求めよ．

$m$を$2015$以下の正の整数とする．$\comb{2015}{m}$が偶数となる最小の$m$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$が正の偶数のとき，$2^n-1$は$3$の倍数であることを示せ．
(2)$n$を自然数とする．$2^n+1$と$2^n-1$は互いに素であることを示せ．
(3)$p,\ q$を異なる素数とする．$2^{p-1}-1=pq^2$を満たす$p,\ q$の組をすべて求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$が正の偶数のとき，$2^n-1$は$3$の倍数であることを示せ．
(2)$p$を素数とし，$k$を$0$以上の整数とする．$2^{p-1}-1=p^k$を満たす$p,\ k$の組をすべて求めよ．

$n$を相異なる素数$p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_k (k \geqq 1)$の積とする．$a,\ b$を$n$の約数とするとき，$a,\ b$の最大公約数を$G$，最小公倍数を$L$とし，
\[ f(a,\ b)=\frac{L}{G} \]
とする．

(1)$f(a,\ b)$が$n$の約数であることを示せ．
(2)$f(a,\ b)=b$ならば，$a=1$であることを示せ．
(3)$m$を自然数とするとき，$m$の約数であるような素数の個数を$S(m)$とする．$S(f(a,\ b))+S(a)+S(b)$が偶数であることを示せ．