「偶数」について
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公立 県立広島大学 2010年 第3問数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\ a_2=1,\ a_{n+2}=7a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．次の問いに答えよ．
(1)$a_{n+3}$を$a_n,\ a_{n+1}$で表せ．
(2)$a_{3n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が偶数であることを数学的帰納法で証明せよ．
(3)$a_{4n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が3の倍数となることを示せ．
\[ a_1=1,\ a_2=1,\ a_{n+2}=7a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．次の問いに答えよ．
(1)$a_{n+3}$を$a_n,\ a_{n+1}$で表せ．
(2)$a_{3n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が偶数であることを数学的帰納法で証明せよ．
(3)$a_{4n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が3の倍数となることを示せ．
公立 名古屋市立大学 2010年 第4問関数$\displaystyle f_n(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \ $(ただし$x \geqq 0,\ n=1,\ 2,\ \cdots$)について，次の問いに答えよ．
(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ．
(2)$n$が偶数のとき，$f_n(x) \leqq \log (1+x)$，$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ．
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ．
(2)$n$が偶数のとき，$f_n(x) \leqq \log (1+x)$，$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ．
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．