次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)$m$を実数とするとき，$2$つの$2$次方程式
$2x^2+8x+2m=0$ $\cdots\cdots①$
$x^2+mx+2m-4=0$ $\cdots\cdots②$
が共通の解をもつのは，$m=[$*$]$または$m=[$**$]$のときである．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．$m=[$*$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[　]$であり，$m=[$**$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[　]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{P}$がある．サイコロを投げて，偶数の目がでたら$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に$1$動き，$1$または$5$の目がでたら$y$軸の正の方向に$1$動き，$3$の目がでたときには動かないとする．最初$\mathrm{P}$が原点にあったとする．サイコロを$5$回投げた後，$\mathrm{P}$が座標$(4,\ 1)$にある確率は$[　]$，$(3,\ 1)$にある確率は$[　]$，$(2,\ 1)$にある確率は$[　]$である．また，$n$を$3$以上の自然数とし，サイコロを$n$回投げた後，$\mathrm{P}$が$(n-3,\ 1)$にある確率は$[　]$である．

$N,\ a,\ b$は正の整数とする．箱の中に赤玉が$a$個，白玉が$b$個入っている．箱から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が$2$回続けて出るか，または取り出す回数が$2N +2$になったら終了する．$n$回取り出して終わる確率を$P(n)$とし，$\displaystyle p = \frac{a}{a+b},\ q = \frac{b}{a+b},\ r = pq$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$P(2j),\ P(2j +1) \ (j = 1,\ 2,\ \cdots,\ N)$および$P(2N +2)$を$r$を用いて表せ．
(2)偶数回取り出して終わる確率$\displaystyle Q = \sum_{j=1}^{N+1} P(2j)$について，$\displaystyle Q > \frac{1-2r}{1-r}$となることを示せ．

次の問に答えよ．

(1)$n$を正の整数，$a=2^n$とする．$3^a-1$は$2^{n+2}$で割り切れるが$2^{n+3}$では割り切れないことを示せ．
(2)$m$を正の偶数とする．$3^m -1$が$2^m$で割り切れるならば$m=2$または$m=4$であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$x,\ y$が$4$で割ると$1$余る自然数ならば，積$xy$も$4$で割ると$1$余ることを証明せよ．
(2)$0$以上の偶数$n$に対して，$3^n$を$4$で割ると$1$余ることを証明せよ．
(3)$1$以上の奇数$n$に対して，$3^n$を$4$で割った余りが$1$でないことを証明せよ．
(4)$m$を$0$以上の整数とする．$3^{2m}$の正の約数のうち$4$で割ると$1$余る数全体の和を$m$を用いて表せ．

4で割ると余りが1である自然数全体の集合を$A$とする．すなわち，
\[ A=\{4k+1 \; | \; k\text{は0以上の整数} \} \]
とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$および$y$が$A$に属するならば，その積$xy$も$A$に属することを証明せよ．
(2)0以上の偶数$m$に対して，$3^m$は$A$に属することを証明せよ．
(3)$m,\ n$を0以上の整数とする．$m+n$が偶数ならば$3^m7^n$は$A$に属し，$m+n$が奇数ならば$3^m7^n$は$A$に属さないことを証明せよ．
(4)$m,\ n$を0以上の整数とする．$3^{2m+1}7^{2n+1}$の正の約数のうち$A$に属する数全体の和を$m$と$n$を用いて表せ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が次の条件を満たすとする．
\begin{eqnarray}
& & a_1=1, a_2=2, a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber \\
& & b_1=2, b_2=6, b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
さらに行列$A$を$A=\biggl( \begin{array}{cc}
6 & 2 \\
2 & 2
\end{array} \biggr)$とする．このとき次が成り立つことを証明せよ．

(1)$n$が2以上の偶数のとき，$\displaystyle A^n=8^{\frac{n}{2}} \biggl( \begin{array}{cc}
a_{n+1} & a_n \\
a_n & a_{n-1}
\end{array} \biggr)$
(2)$n$が3以上の奇数のとき，$\displaystyle A^n=8^{\frac{n-1}{2}} \biggl( \begin{array}{cc}
b_{n+1} & b_n \\
b_n & b_{n-1}
\end{array} \biggr)$

数直線上を動く点Pが，はじめ原点の位置にある．さいころを投げて，偶数の目が出ればPは正の向きに出た目の数だけ進み，奇数の目が出ればPは負の向きに出た目の数だけ進む．さいころを続けて4回投げるとき，次の確率を求めよ．

(1)少なくとも2回は2の目が出て，最後にPの座標が2になる確率
(2)最後にPの座標が2になる確率

はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とおく．

(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$n$が奇数ならば$a_n=b_n>c_n$が成り立ち，$n$が偶数ならば$a_n>b_n = c_n$が成り立つことを示せ．
(4)$b_n$を求めよ．

$n$を3以上の整数とする．1から$n$までの番号を1つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a,\ b,\ c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．

$n$を3以上の整数とする．1から$n$までの番号を1つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a,\ b,\ c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．