次の空欄を適当に補え．

(1)円$x^2+2x+y^2-6y-6=0$の半径は$[ア]$であり，中心の座標は$[イ]$である．

(2)$\displaystyle 2 \log_84+\log_3 \sqrt{15}-\frac{1}{\log_59}$を計算すると$[ウ]$である．

(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．方程式$\cos 2x-5 \cos x+3=0$を解くと，$x=[エ],\ [オ]$である．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から同じ数字を繰り返し使わずに作れる$3$桁の偶数は全部で$[カ]$個ある．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名が次のようなルールのゲームを行った．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り，偶数が出た場合は得点を$1$とし，奇数が出た場合は得点を$0$とする．
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で，より多くの得点をあげたものを勝者とし，得点が同じ場合は引き分けとする．
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で，終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合，得点の取り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．

$M$を$2$以上の整数とし，$0$から$M-1$までの各整数を書いたカードが$1$枚ずつ合計$M$枚，箱の中に入っているものとする．この箱の中から$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれている数を調べて箱に戻す試行を考える．

この試行を$n$回行ったとき，箱から取り出した$n$枚のカードに書かれている数の和が偶数である確率を$P_n$で表す．

(1)$M=2$のとき，$\displaystyle P_n=\frac{[ネ]}{[ノ]}$である．
(2)$M=3$のとき，
\[ P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad P_2=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．また，
\[ P_n=\frac{[ホ]}{[マ]} \left( \frac{[ミ]}{[ム]} \right)^n+\frac{[メ]}{[モ]} \]
である．
(3)$M$が偶数のとき，
\[ P_n=\frac{[ヤ]}{[ユ]} \]
である．また$M$が奇数のとき，
\[ P_n=\frac{[ヨ]}{[ラ]} \left( \frac{1}{M} \right)^n+\frac{[リ]}{[ル]} \]
である．

正$n$角形の頂点から同時に$3$点を選び，それらを頂点とする三角形を作る．ただし，どの$3$点が選ばれるかは同様に確からしいとする．

(1)$n=6$のとき，三角形が直角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$n=8$のとき，三角形が鈍角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}$である．
(3)$n$が偶数のとき，三角形が直角三角形となる確率は
\[ \frac{[モ]}{n+[ヤ]} \]
であり，三角形が鈍角三角形となる確率は
\[ \frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{n+[ラ]}{n+[リ]} \right) \]
である．
(4)$n$が$6$の倍数のとき，三角形が正三角形以外の二等辺三角形となる確率は
\[ \frac{[ル](n+[レ])}{(n+[ロ])(n+[ワ])} \]
である．ただし，$[ロ]>[ワ]$とする．

次の空欄ア～スに当てはまる数を記入せよ．

(1)点$\mathrm{P}(1,\ 2)$と点$\mathrm{Q}(0,\ -1)$を通り，点$\mathrm{Q}$での接線の傾きが$2$である円の方程式は$(x-[ア])^2+(y-[イ])^2=[ウ]$である．
(2)$\overrightarrow{a}=(-2,\ 2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(-5,\ 4,\ 3)$のとき，$\overrightarrow{a}$と$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$のなす角度は$[エ]$である．
(3)$\sin x+\sqrt{3} \cos x-2=0 (0<x<\pi)$を解くと，$x=[オ]$である．
(4)数列$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots$に関して，$\displaystyle \frac{17}{30}$はこの数列の第$[カ]$項である．

(5)$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，$\omega^8$は$[キ]+[ク]i$となる．ただし$i$は虚数単位とし，キ，クは実数とする．
(6)$2$次方程式$x^2+ax+16=0$が整数解を持つような整数$a$のうち最大のものは$[ケ]$である．
(7)サイコロを$4$回振る．連続して偶数があらわれず，かつ連続して奇数もあらわれない確率は$[コ]$である．
(8)$x$が実数を動くとき，関数$f(x)=4^x+4^{-x}-5(2^x+2^{-x})+9$の最小値は，$[サ]$である．
(9)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+(3a+8)x+4$をみたすとき，定数$a$の値は$[シ]$である．
\mon $6^{30}$は$[ス]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x-2>0 \\
2x-6 \leqq 0
\end{array} \right. \]
の解は$[$1$]$である．
(2)$x^3-4x^2+5x+2$を$x-4$で割った余りは$[$2$]$である．
(3)$f(x)=x^2+ax+b,\ g(x)=x^2+2ax+b$とする．放物線$y=g(x)$の頂点の座標が$\displaystyle \left( \frac{8}{3},\ \frac{26}{9} \right)$であるとき，$a=[$3$]$，$b=[$4$]$である．また，$2$つの放物線$y=f(x)$，$y=g(x)$および直線$x=\sqrt{3}$で囲まれた図形の面積は$[$5$]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \angle \mathrm{B}=\frac{\pi}{12}$，$\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=2$のとき，$\mathrm{AC}^2=[$6$]$，$\sin^2 A=[$7$]$である．
(5)$2$次方程式$3x^2+2x+15=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[$8$]$，$\displaystyle \frac{\alpha+i \beta}{\alpha-i \beta}-\frac{\alpha-i \beta}{\alpha+i \beta}=[$9$]$である．
(6)$1$から$15$までの異なる$15$個の自然数の中から，$4$個の異なる数をとって組を作る．このとき，偶数だけからなる組は$[$10$]$通りあり，偶数を少なくとも$1$個含む組は$[$11$]$通りある．

$1$個のさいころを投げて$1$の目が出ると$1200$円，偶数の目が出ると$500$円，$3$または$5$の目が出ると$300$円の賞金が得られるとする．この試行において，さいころを$1$回投げて得られる賞金額の期待値は$[　]$円である．また，この試行を$3$回続けて行った結果，賞金総額がちょうど$2000$円となる確率は$[　]$である．

$1$個のさいころを$3$回続けて投げるという試行に関して，次の確率を求めよ．

(1)$3$回連続で同じ目が出る確率．
(2)$3$回連続で偶数が出る確率．
(3)$3$回とも互いに異なる目が出る確率．
(4)$2$回続けて同じ目が出ない確率．
(5)出た目の合計が$16$以上になる確率．

次の$[　]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle -2<\log_8 x<\frac{5}{3}$を満たす$x$は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<[　]$である．
(2)$x^3+ax^2+x+b=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，もう$1$つの解は$[　]$である．
(3)$7$個の数字$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$を$1$列に並べる．このとき，偶数番目がすべて奇数になるような並べ方は$[　]$通りある．
(4)$2$点$(2,\ 0,\ 1)$，$(1,\ 1,\ 2)$を通る直線がある．原点$\mathrm{O}$からこの直線に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，原点から点$\mathrm{A}$までの距離は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)等式$4x^2=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+4$が$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b$の組を定めると，$(a,\ b)=[　]$である．また，このとき$2$次方程式$4x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}$の値は$[　]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$2 \sin^2 x+5 \cos x+1=0$を解くと，$x=[　]$である．また，$0 \leqq y \leqq 2\pi$とするとき，不等式$\cos 2y+\sin y \geqq 0$を満たす$y$の値の範囲は$[　]$である．
(3)$1$から$7$までの数字が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードがある．この中から$3$枚のカードを同時にとりだす．このとき，カードの数字の和が奇数となる確率は$[　]$である．また，カードの数字の和が奇数のときは，その$3$つの数の最大の値を得点とし，カードの数字の和が偶数のときには一律に$5$点を得点とするゲームを考えると，このゲームの期待値は$[　]$点である．