数直線上の動点$\mathrm{P}$はさいころを投げて偶数が出れば$+1$，奇数が出れば$-1$移動する．$\mathrm{P}$の最初の位置（座標）を$\mathrm{P}_0=0$とし，さいころを$k$回投げたときの$\mathrm{P}$の位置（座標）を順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)さいころを$4$回投げたとき，$\mathrm{P}_4=2$となる確率を求めよ．
(2)さいころを$8$回投げたとき，$\mathrm{P}_8=n$となる確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は$-8 \leqq n \leqq 8$をみたす整数である．
(3)さいころを$4$回投げたとき，$\mathrm{P}_1+\mathrm{P}_2+\mathrm{P}_3+\mathrm{P}_4$が$0$以上となる確率を求めよ．
(4)さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{P}_1+\mathrm{P}_2-\mathrm{P}_3$の期待値を求めよ．

$a,\ d$を正の整数とする．$x_1=a,\ x_2=a+d,\ x_3=a+2d,\ x_4=a+3d$とおく．$x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$がすべて素数であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$は奇数であることを示せ．また，$d$は偶数であることを示せ．
(2)$d$は$3$の倍数であることを示せ．
(3)$x_3=67$であるとき，$a,\ d$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=a_2=a_3=1,\quad a_{n+3}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_{n+1} \leqq a_{n+2} \leqq 2a_n$を示せ．
(2)$a_n \leqq \sqrt{2^n}$を示せ．
さらに，数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\left\{ \begin{array}{ll}
0 & a_n \ \text{が偶数のとき} \\
1 & a_n \ \text{が奇数のとき}
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．また，自然数$k$に対して，条件
\[ p_k \ \text{：すべての自然数} \ n \ \text{について} \ b_{n+k}=b_n \ \text{が成り立つ} \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(3)条件$p_k$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．
(4)$p,\ q,\ r$を整数とし，数列$\{a_n\}$の$a_1,\ a_2,\ a_3$を$a_1=p,\ a_2=q,\ a_3=r$に置き換え，数列$\{b_n\}$もそれにあわせて置き換える．$p,\ q,\ r$をどのように選んでも，条件$p_k$を満たす自然数$k$が存在することを示せ．

硬貨投げをしたとき，表，裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出る硬貨がある．この硬貨を用いて硬貨投げを$n$回繰り返す．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し，$k$回目の硬貨投げの結果に応じて$a_k$を次で定める：
\[ a_k=\left\{ \begin{array}{rl}
1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が表のとき} \\
-1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が裏のとき}
\end{array} \right. \]
また，この$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を用いて$n$次式$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n a_kx^k$で定める．

(1)$n$が偶数のとき，$f(x)$が$x-1$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)$n$が$4$の倍数のとき，$f(x)$が$(x-1)(x+1)$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(3)$n$が$2$以上の自然数のとき，$f(2)=2$となる確率を$n$を用いて表せ．

数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は，$1$から$2n-1$までの異なる$n$個の奇数を並べかえたものである．また，数列$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$は，$2$から$2n$までの異なる$n$個の偶数を並べかえたものである．$S_n=a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$n$は$3$以上の整数とする．

(1)$n=3$であり，$b_1=4$，$b_2=6$，$b_3=2$のとき，$S_3$を最大にする$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．

(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n 2ka_k+\sum_{k=1}^n \frac{(a_k-2k+1)^2}{2}$を$n$を用いて表せ．

(3)$b_k=2k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$とする．$S_n$を最大にする$a_k$を$k$を用いて表せ．

以下の各問に答えよ．

(1)$2(3x^3-2x-2)^5$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$a+b+c=9$を満たす正の整数$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は何通りあるか．
(3)$3$個のさいころを同時に投げたときに，出た目の積が偶数である確率を求めよ．
(4)$1$から$500$までの整数のうち，以下の条件を満たす数の個数をそれぞれ求めよ．
$(ⅰ)$ $6$と$8$の両方で割り切れる数， \quad $(ⅱ)$ $6$でも$8$でも割り切れない数

次の$[　]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．

(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし，試行$\mathrm{T}$の結果によって，$\mathrm{P}$は次の規則で動く．
（規則）$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し，奇数ならば$+1$だけ移動する．
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると，$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり，$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である．また，$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき，試行回数の期待値は$[ウ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である．また，実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$をみたしながら動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の命題$(ⅰ)$～$\tokeijyu$の真偽を書きなさい．

(i) 自然数ならば偶数である．
(ii) 食べ物ならば果物である．
(iii) 人間でないならば動物ではない．
\mon[$\tokeishi$] 整数ならば実数である．
\mon[$\tokeigo$] $|2x^2-5x-3|>0$ならば$x \neq 3$である．
\mon[$\tokeiroku$] $x^2=9$ならば$x=3$である．
\mon[$\tokeishichi$] $2$の倍数ならば$4$の倍数である．
\mon[$\tokeihachi$] $x+y>0$ならば$x>0$かつ$y>0$である．
\mon[$\tokeikyu$] $A \cap B=\phi$ならば$A \neq B$である．
\mon[$\tokeijyu$] $A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{2y+2 \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$ならば$A \subset B$である．

(2)以下の図において$A \cup B$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(3)$2x^2-x-1=0$の必要条件を次の$(ⅰ)$～$\tokeishi$からすべて選び，解答欄に記号で答えなさい．

(i) $x<0$
(ii) $x$は素数である．
(iii) $|x| \leqq 1$
\mon[$\tokeishi$] $x$は実数である．

(4)命題「$(x-1)^2=0$ならば$x=-1$または$x=1$」の逆，裏，対偶を解答欄に書きなさい．またこの命題の真偽を書き，偽のときは反例を挙げなさい．

$a,\ b$は互いに素な整数とする．

(1)もし$a^2=2b^2 \cdots\cdots①$が成立するなら，$a$は偶数であることを証明せよ．
(2)$①$の$b$も偶数であることを証明せよ．
(3)$①$が成立することはないということを証明せよ．

$1$から$6$の目が等確率で出るサイコロを投げ，出た目の数が偶数のとき定数$a_1$の値を$1$，奇数のとき$-1$と決める．定数$b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$の値についてもそれぞれ同じ方法で$1$または$-1$に決める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．
(2)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもたないとき，$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．
(3)$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．